Lutasin ang 15x^2+4x-4=0

$$15 { x }^{ 2 } +4x-4=0$$

I-solve ang x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=\frac{2}{5}=0.4$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 15x^{2}+ax+bx-4. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=4 ab=15\left(-4\right)=-60$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, mas malaki ang absolute value ng positive na numero kaysa sa negative. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 4.

$$a=-6 b=10$$

I-rewrite ang 15x^{2}+4x-4 bilang \left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right).

$$\left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right)$$

I-factor out ang 3x sa unang grupo at ang 2 sa pangalawang grupo.

$$3x\left(5x-2\right)+2\left(5x-2\right)$$

I-factor out ang common term na 5x-2 gamit ang distributive property.

$$\left(5x-2\right)\left(3x+2\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 5x-2=0 at 3x+2=0.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 15 para sa a, 4 para sa b, at -4 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

I-square ang 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

I-multiply ang -4 times 15.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-60\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

I-multiply ang -60 times -4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 15}$$

Idagdag ang 16 sa 240.

$$x=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 15}$$

Kunin ang square root ng 256.

$$x=\frac{-4±16}{2\times 15}$$

I-multiply ang 2 times 15.

$$x=\frac{-4±16}{30}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-4±16}{30} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -4 sa 16.

$$x=\frac{12}{30}$$

Bawasan ang fraction \frac{12}{30} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 6.

$$x=\frac{2}{5}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-4±16}{30} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 16 mula sa -4.

$$x=-\frac{20}{30}$$

Bawasan ang fraction \frac{-20}{30} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 10.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Idagdag ang 4 sa magkabilang dulo ng equation.

$$15x^{2}+4x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Kapag na-subtract ang -4 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$15x^{2}+4x=-\left(-4\right)$$

I-subtract ang -4 mula sa 0.

$$15x^{2}+4x=4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 15.

$$\frac{15x^{2}+4x}{15}=\frac{4}{15}$$

Kapag na-divide gamit ang 15, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 15.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x=\frac{4}{15}$$

I-divide ang \frac{4}{15}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang \frac{2}{15}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng \frac{2}{15} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}$$

I-square ang \frac{2}{15} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{4}{15}+\frac{4}{225}$$

Idagdag ang \frac{4}{15} sa \frac{4}{225} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{64}{225}$$

I-factor ang x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{64}{225}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{225}}$$

Pasimplehin.

$$x+\frac{2}{15}=\frac{8}{15} x+\frac{2}{15}=-\frac{8}{15}$$

I-subtract ang \frac{2}{15} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$