Lutasin ang 12x^2+16x-3=0

$$12 x ^ { 2 } + 16 x - 3 = 0$$

I-solve ang x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x=\frac{1}{6}\approx 0.166666667$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 12x^{2}+ax+bx-3. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=16 ab=12\left(-3\right)=-36$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, mas malaki ang absolute value ng positive na numero kaysa sa negative. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -36.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 16.

$$a=-2 b=18$$

I-rewrite ang 12x^{2}+16x-3 bilang \left(12x^{2}-2x\right)+\left(18x-3\right).

$$\left(12x^{2}-2x\right)+\left(18x-3\right)$$

I-factor out ang 2x sa unang grupo at ang 3 sa pangalawang grupo.

$$2x\left(6x-1\right)+3\left(6x-1\right)$$

I-factor out ang common term na 6x-1 gamit ang distributive property.

$$\left(6x-1\right)\left(2x+3\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 6x-1=0 at 2x+3=0.

$$x=\frac{1}{6} x=-\frac{3}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$12x^{2}+16x-3=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 12 para sa a, 16 para sa b, at -3 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 12\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

I-square ang 16.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 12\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

I-multiply ang -4 times 12.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-48\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

I-multiply ang -48 times -3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+144}}{2\times 12}$$

Idagdag ang 256 sa 144.

$$x=\frac{-16±\sqrt{400}}{2\times 12}$$

Kunin ang square root ng 400.

$$x=\frac{-16±20}{2\times 12}$$

I-multiply ang 2 times 12.

$$x=\frac{-16±20}{24}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-16±20}{24} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -16 sa 20.

$$x=\frac{4}{24}$$

Bawasan ang fraction \frac{4}{24} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 4.

$$x=\frac{1}{6}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-16±20}{24} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 20 mula sa -16.

$$x=-\frac{36}{24}$$

Bawasan ang fraction \frac{-36}{24} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 12.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=\frac{1}{6} x=-\frac{3}{2}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+16x-3=0$$

Idagdag ang 3 sa magkabilang dulo ng equation.

$$12x^{2}+16x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Kapag na-subtract ang -3 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$12x^{2}+16x=-\left(-3\right)$$

I-subtract ang -3 mula sa 0.

$$12x^{2}+16x=3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 12.

$$\frac{12x^{2}+16x}{12}=\frac{3}{12}$$

Kapag na-divide gamit ang 12, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 12.

$$x^{2}+\frac{16}{12}x=\frac{3}{12}$$

Bawasan ang fraction \frac{16}{12} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 4.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{3}{12}$$

Bawasan ang fraction \frac{3}{12} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{1}{4}$$

I-divide ang \frac{4}{3}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang \frac{2}{3}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng \frac{2}{3} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

I-square ang \frac{2}{3} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{4}+\frac{4}{9}$$

Idagdag ang \frac{1}{4} sa \frac{4}{9} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{25}{36}$$

I-factor ang x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{25}{36}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{36}}$$

Pasimplehin.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{5}{6} x+\frac{2}{3}=-\frac{5}{6}$$

I-subtract ang \frac{2}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{1}{6} x=-\frac{3}{2}$$