Lutasin ang 12(n-4)-30=n^2-9n+12

$$12 ( n - 4 ) - 30 = n ^ { 2 } - 9 n + 12$$

I-solve ang n

$$n=6$$

$$n=15$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 12 gamit ang n-4.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

I-subtract ang 30 mula sa -48 para makuha ang -78.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

I-subtract ang n^{2} mula sa magkabilang dulo.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Idagdag ang 9n sa parehong bahagi.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Pagsamahin ang 12n at 9n para makuha ang 21n.

$$21n-78-n^{2}=12$$

I-subtract ang 12 mula sa magkabilang dulo.

$$21n-78-n^{2}-12=0$$

I-subtract ang 12 mula sa -78 para makuha ang -90.

$$21n-90-n^{2}=0$$

Isaayos ang polynomial para gawin itong standard form. Pagsunud-sunurin ang mga term mula sa pinakamalaki hanggang pinakamaliit na power.

$$-n^{2}+21n-90=0$$

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang -n^{2}+an+bn-90. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=21 ab=-\left(-90\right)=90$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, parehong positive ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 90.

$$1,90 2,45 3,30 5,18 6,15 9,10$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1+90=91 2+45=47 3+30=33 5+18=23 6+15=21 9+10=19$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 21.

$$a=15 b=6$$

I-rewrite ang -n^{2}+21n-90 bilang \left(-n^{2}+15n\right)+\left(6n-90\right).

$$\left(-n^{2}+15n\right)+\left(6n-90\right)$$

I-factor out ang -n sa unang grupo at ang 6 sa pangalawang grupo.

$$-n\left(n-15\right)+6\left(n-15\right)$$

I-factor out ang common term na n-15 gamit ang distributive property.

$$\left(n-15\right)\left(-n+6\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang n-15=0 at -n+6=0.

$$n=15 n=6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 12 gamit ang n-4.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

I-subtract ang 30 mula sa -48 para makuha ang -78.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

I-subtract ang n^{2} mula sa magkabilang dulo.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Idagdag ang 9n sa parehong bahagi.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Pagsamahin ang 12n at 9n para makuha ang 21n.

$$21n-78-n^{2}=12$$

I-subtract ang 12 mula sa magkabilang dulo.

$$21n-78-n^{2}-12=0$$

I-subtract ang 12 mula sa -78 para makuha ang -90.

$$21n-90-n^{2}=0$$

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$-n^{2}+21n-90=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang -1 para sa a, 21 para sa b, at -90 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

I-square ang 21.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

I-multiply ang -4 times -1.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441+4\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

I-multiply ang 4 times -90.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441-360}}{2\left(-1\right)}$$

Idagdag ang 441 sa -360.

$$n=\frac{-21±\sqrt{81}}{2\left(-1\right)}$$

Kunin ang square root ng 81.

$$n=\frac{-21±9}{2\left(-1\right)}$$

I-multiply ang 2 times -1.

$$n=\frac{-21±9}{-2}$$

Ngayon, lutasin ang equation na n=\frac{-21±9}{-2} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -21 sa 9.

$$n=-\frac{12}{-2}$$

I-divide ang -12 gamit ang -2.

$$n=6$$

Ngayon, lutasin ang equation na n=\frac{-21±9}{-2} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 9 mula sa -21.

$$n=-\frac{30}{-2}$$

I-divide ang -30 gamit ang -2.

$$n=15$$

Nalutas na ang equation.

$$n=6 n=15$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 12 gamit ang n-4.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

I-subtract ang 30 mula sa -48 para makuha ang -78.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

I-subtract ang n^{2} mula sa magkabilang dulo.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Idagdag ang 9n sa parehong bahagi.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Pagsamahin ang 12n at 9n para makuha ang 21n.

$$21n-78-n^{2}=12$$

Idagdag ang 78 sa parehong bahagi.

$$21n-n^{2}=12+78$$

Idagdag ang 12 at 78 para makuha ang 90.

$$21n-n^{2}=90$$

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$-n^{2}+21n=90$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$\frac{-n^{2}+21n}{-1}=\frac{90}{-1}$$

Kapag na-divide gamit ang -1, ma-a-undo ang multiplication gamit ang -1.

$$n^{2}+\frac{21}{-1}n=\frac{90}{-1}$$

I-divide ang 21 gamit ang -1.

$$n^{2}-21n=\frac{90}{-1}$$

I-divide ang 90 gamit ang -1.

$$n^{2}-21n=-90$$

I-divide ang -21, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{21}{2}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{21}{2} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$n^{2}-21n+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=-90+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{21}{2} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=-90+\frac{441}{4}$$

Idagdag ang -90 sa \frac{441}{4}.

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=\frac{81}{4}$$

I-factor ang n^{2}-21n+\frac{441}{4}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Pasimplehin.

$$n-\frac{21}{2}=\frac{9}{2} n-\frac{21}{2}=-\frac{9}{2}$$

Idagdag ang \frac{21}{2} sa magkabilang dulo ng equation.

$$n=15 n=6$$