Lutasin ang 12x^2+13x+3=0

$$12 { x }^{ 2 } +13x+3 = 0$$

I-solve ang x

$$x=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 12x^{2}+ax+bx+3. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=13 ab=12\times 3=36$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, parehong positive ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 13.

$$a=4 b=9$$

I-rewrite ang 12x^{2}+13x+3 bilang \left(12x^{2}+4x\right)+\left(9x+3\right).

$$\left(12x^{2}+4x\right)+\left(9x+3\right)$$

I-factor out ang 4x sa unang grupo at ang 3 sa pangalawang grupo.

$$4x\left(3x+1\right)+3\left(3x+1\right)$$

I-factor out ang common term na 3x+1 gamit ang distributive property.

$$\left(3x+1\right)\left(4x+3\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 3x+1=0 at 4x+3=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$12x^{2}+13x+3=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 12 para sa a, 13 para sa b, at 3 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 12\times 3}}{2\times 12}$$

I-square ang 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 12\times 3}}{2\times 12}$$

I-multiply ang -4 times 12.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-48\times 3}}{2\times 12}$$

I-multiply ang -48 times 3.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-144}}{2\times 12}$$

Idagdag ang 169 sa -144.

$$x=\frac{-13±\sqrt{25}}{2\times 12}$$

Kunin ang square root ng 25.

$$x=\frac{-13±5}{2\times 12}$$

I-multiply ang 2 times 12.

$$x=\frac{-13±5}{24}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-13±5}{24} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -13 sa 5.

$$x=-\frac{8}{24}$$

Bawasan ang fraction \frac{-8}{24} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 8.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-13±5}{24} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 5 mula sa -13.

$$x=-\frac{18}{24}$$

Bawasan ang fraction \frac{-18}{24} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 6.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+13x+3=0$$

I-subtract ang 3 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$12x^{2}+13x+3-3=-3$$

Kapag na-subtract ang 3 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$12x^{2}+13x=-3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 12.

$$\frac{12x^{2}+13x}{12}=-\frac{3}{12}$$

Kapag na-divide gamit ang 12, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 12.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x=-\frac{3}{12}$$

Bawasan ang fraction \frac{-3}{12} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 3.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x=-\frac{1}{4}$$

I-divide ang \frac{13}{12}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang \frac{13}{24}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng \frac{13}{24} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\left(\frac{13}{24}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{13}{24}\right)^{2}$$

I-square ang \frac{13}{24} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=-\frac{1}{4}+\frac{169}{576}$$

Idagdag ang -\frac{1}{4} sa \frac{169}{576} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=\frac{25}{576}$$

I-factor ang x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{24}\right)^{2}=\frac{25}{576}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{576}}$$

Pasimplehin.

$$x+\frac{13}{24}=\frac{5}{24} x+\frac{13}{24}=-\frac{5}{24}$$

I-subtract ang \frac{13}{24} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$