Lutasin ang 1000x^2-590x-561=0

$$1000 { x }^{ 2 } -590x-561=0$$

I-solve ang x

$$x=-\frac{51}{100}=-0.51$$

$$x = \frac{11}{10} = 1\frac{1}{10} = 1.1$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 1000x^{2}+ax+bx-561. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-590 ab=1000\left(-561\right)=-561000$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, mas malaki ang absolute value ng negative na numero kaysa sa positive. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -561000.

$$1,-561000 2,-280500 3,-187000 4,-140250 5,-112200 6,-93500 8,-70125 10,-56100 11,-51000 12,-46750 15,-37400 17,-33000 20,-28050 22,-25500 24,-23375 25,-22440 30,-18700 33,-17000 34,-16500 40,-14025 44,-12750 50,-11220 51,-11000 55,-10200 60,-9350 66,-8500 68,-8250 75,-7480 85,-6600 88,-6375 100,-5610 102,-5500 110,-5100 120,-4675 125,-4488 132,-4250 136,-4125 150,-3740 165,-3400 170,-3300 187,-3000 200,-2805 204,-2750 220,-2550 250,-2244 255,-2200 264,-2125 275,-2040 300,-1870 330,-1700 340,-1650 374,-1500 375,-1496 408,-1375 425,-1320 440,-1275 500,-1122 510,-1100 550,-1020 561,-1000 600,-935 660,-850 680,-825 748,-750$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1-561000=-560999 2-280500=-280498 3-187000=-186997 4-140250=-140246 5-112200=-112195 6-93500=-93494 8-70125=-70117 10-56100=-56090 11-51000=-50989 12-46750=-46738 15-37400=-37385 17-33000=-32983 20-28050=-28030 22-25500=-25478 24-23375=-23351 25-22440=-22415 30-18700=-18670 33-17000=-16967 34-16500=-16466 40-14025=-13985 44-12750=-12706 50-11220=-11170 51-11000=-10949 55-10200=-10145 60-9350=-9290 66-8500=-8434 68-8250=-8182 75-7480=-7405 85-6600=-6515 88-6375=-6287 100-5610=-5510 102-5500=-5398 110-5100=-4990 120-4675=-4555 125-4488=-4363 132-4250=-4118 136-4125=-3989 150-3740=-3590 165-3400=-3235 170-3300=-3130 187-3000=-2813 200-2805=-2605 204-2750=-2546 220-2550=-2330 250-2244=-1994 255-2200=-1945 264-2125=-1861 275-2040=-1765 300-1870=-1570 330-1700=-1370 340-1650=-1310 374-1500=-1126 375-1496=-1121 408-1375=-967 425-1320=-895 440-1275=-835 500-1122=-622 510-1100=-590 550-1020=-470 561-1000=-439 600-935=-335 660-850=-190 680-825=-145 748-750=-2$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -590.

$$a=-1100 b=510$$

I-rewrite ang 1000x^{2}-590x-561 bilang \left(1000x^{2}-1100x\right)+\left(510x-561\right).

$$\left(1000x^{2}-1100x\right)+\left(510x-561\right)$$

I-factor out ang 100x sa unang grupo at ang 51 sa pangalawang grupo.

$$100x\left(10x-11\right)+51\left(10x-11\right)$$

I-factor out ang common term na 10x-11 gamit ang distributive property.

$$\left(10x-11\right)\left(100x+51\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 10x-11=0 at 100x+51=0.

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$1000x^{2}-590x-561=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 1000 para sa a, -590 para sa b, at -561 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{\left(-590\right)^{2}-4\times 1000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

I-square ang -590.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100-4\times 1000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

I-multiply ang -4 times 1000.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100-4000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

I-multiply ang -4000 times -561.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100+2244000}}{2\times 1000}$$

Idagdag ang 348100 sa 2244000.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{2592100}}{2\times 1000}$$

Kunin ang square root ng 2592100.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±1610}{2\times 1000}$$

Ang kabaliktaran ng -590 ay 590.

$$x=\frac{590±1610}{2\times 1000}$$

I-multiply ang 2 times 1000.

$$x=\frac{590±1610}{2000}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{590±1610}{2000} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 590 sa 1610.

$$x=\frac{2200}{2000}$$

Bawasan ang fraction \frac{2200}{2000} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 200.

$$x=\frac{11}{10}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{590±1610}{2000} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 1610 mula sa 590.

$$x=-\frac{1020}{2000}$$

Bawasan ang fraction \frac{-1020}{2000} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 20.

$$x=-\frac{51}{100}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$1000x^{2}-590x-561=0$$

Idagdag ang 561 sa magkabilang dulo ng equation.

$$1000x^{2}-590x-561-\left(-561\right)=-\left(-561\right)$$

Kapag na-subtract ang -561 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$1000x^{2}-590x=-\left(-561\right)$$

I-subtract ang -561 mula sa 0.

$$1000x^{2}-590x=561$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 1000.

$$\frac{1000x^{2}-590x}{1000}=\frac{561}{1000}$$

Kapag na-divide gamit ang 1000, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 1000.

$$x^{2}+\left(-\frac{590}{1000}\right)x=\frac{561}{1000}$$

Bawasan ang fraction \frac{-590}{1000} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 10.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x=\frac{561}{1000}$$

I-divide ang -\frac{59}{100}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{59}{200}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{59}{200} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\left(-\frac{59}{200}\right)^{2}=\frac{561}{1000}+\left(-\frac{59}{200}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{59}{200} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}=\frac{561}{1000}+\frac{3481}{40000}$$

Idagdag ang \frac{561}{1000} sa \frac{3481}{40000} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}=\frac{25921}{40000}$$

I-factor ang x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{59}{200}\right)^{2}=\frac{25921}{40000}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{59}{200}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25921}{40000}}$$

Pasimplehin.

$$x-\frac{59}{200}=\frac{161}{200} x-\frac{59}{200}=-\frac{161}{200}$$

Idagdag ang \frac{59}{200} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$