Lutasin ang 10x^2+7x-12=0

$$10 x ^ { 2 } + 7 x - 12 = 0$$

I-solve ang x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x=\frac{4}{5}=0.8$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 10x^{2}+ax+bx-12. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=7 ab=10\left(-12\right)=-120$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, mas malaki ang absolute value ng positive na numero kaysa sa negative. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 7.

$$a=-8 b=15$$

I-rewrite ang 10x^{2}+7x-12 bilang \left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right).

$$\left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right)$$

I-factor out ang 2x sa unang grupo at ang 3 sa pangalawang grupo.

$$2x\left(5x-4\right)+3\left(5x-4\right)$$

I-factor out ang common term na 5x-4 gamit ang distributive property.

$$\left(5x-4\right)\left(2x+3\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 5x-4=0 at 2x+3=0.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 10 para sa a, 7 para sa b, at -12 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

I-square ang 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

I-multiply ang -4 times 10.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

I-multiply ang -40 times -12.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+480}}{2\times 10}$$

Idagdag ang 49 sa 480.

$$x=\frac{-7±\sqrt{529}}{2\times 10}$$

Kunin ang square root ng 529.

$$x=\frac{-7±23}{2\times 10}$$

I-multiply ang 2 times 10.

$$x=\frac{-7±23}{20}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-7±23}{20} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -7 sa 23.

$$x=\frac{16}{20}$$

Bawasan ang fraction \frac{16}{20} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 4.

$$x=\frac{4}{5}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-7±23}{20} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 23 mula sa -7.

$$x=-\frac{30}{20}$$

Bawasan ang fraction \frac{-30}{20} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 10.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

Idagdag ang 12 sa magkabilang dulo ng equation.

$$10x^{2}+7x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Kapag na-subtract ang -12 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$10x^{2}+7x=-\left(-12\right)$$

I-subtract ang -12 mula sa 0.

$$10x^{2}+7x=12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 10.

$$\frac{10x^{2}+7x}{10}=\frac{12}{10}$$

Kapag na-divide gamit ang 10, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 10.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{12}{10}$$

Bawasan ang fraction \frac{12}{10} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{6}{5}$$

I-divide ang \frac{7}{10}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang \frac{7}{20}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng \frac{7}{20} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{6}{5}+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}$$

I-square ang \frac{7}{20} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{6}{5}+\frac{49}{400}$$

Idagdag ang \frac{6}{5} sa \frac{49}{400} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{529}{400}$$

I-factor ang x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{529}{400}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{400}}$$

Pasimplehin.

$$x+\frac{7}{20}=\frac{23}{20} x+\frac{7}{20}=-\frac{23}{20}$$

I-subtract ang \frac{7}{20} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$