Lutasin ang 10k^2+9k-1=0

$$10 k ^ { 2 } + 9 k - 1 = 0$$

I-solve ang k

$$k=-1$$

$$k=\frac{1}{10}=0.1$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 10k^{2}+ak+bk-1. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=9 ab=10\left(-1\right)=-10$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, mas malaki ang absolute value ng positive na numero kaysa sa negative. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -10.

$$-1,10 -2,5$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 9.

$$a=-1 b=10$$

I-rewrite ang 10k^{2}+9k-1 bilang \left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right).

$$\left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right)$$

Ï-factor out ang k sa 10k^{2}-k.

$$k\left(10k-1\right)+10k-1$$

I-factor out ang common term na 10k-1 gamit ang distributive property.

$$\left(10k-1\right)\left(k+1\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 10k-1=0 at k+1=0.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 10 para sa a, 9 para sa b, at -1 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

I-square ang 9.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

I-multiply ang -4 times 10.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-40\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

I-multiply ang -40 times -1.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+40}}{2\times 10}$$

Idagdag ang 81 sa 40.

$$k=\frac{-9±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

Kunin ang square root ng 121.

$$k=\frac{-9±11}{2\times 10}$$

I-multiply ang 2 times 10.

$$k=\frac{-9±11}{20}$$

Ngayon, lutasin ang equation na k=\frac{-9±11}{20} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -9 sa 11.

$$k=\frac{2}{20}$$

Bawasan ang fraction \frac{2}{20} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$k=\frac{1}{10}$$

Ngayon, lutasin ang equation na k=\frac{-9±11}{20} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 11 mula sa -9.

$$k=-\frac{20}{20}$$

I-divide ang -20 gamit ang 20.

$$k=-1$$

Nalutas na ang equation.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Idagdag ang 1 sa magkabilang dulo ng equation.

$$10k^{2}+9k-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Kapag na-subtract ang -1 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$10k^{2}+9k=-\left(-1\right)$$

I-subtract ang -1 mula sa 0.

$$10k^{2}+9k=1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 10.

$$\frac{10k^{2}+9k}{10}=\frac{1}{10}$$

Kapag na-divide gamit ang 10, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 10.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k=\frac{1}{10}$$

I-divide ang \frac{9}{10}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang \frac{9}{20}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng \frac{9}{20} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{1}{10}+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}$$

I-square ang \frac{9}{20} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{1}{10}+\frac{81}{400}$$

Idagdag ang \frac{1}{10} sa \frac{81}{400} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{121}{400}$$

I-factor ang k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{121}{400}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{400}}$$

Pasimplehin.

$$k+\frac{9}{20}=\frac{11}{20} k+\frac{9}{20}=-\frac{11}{20}$$

I-subtract ang \frac{9}{20} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$