Lutasin ang -4x^2+20x-47=0

$$-4 { x }^{ 2 } +20x-47=0$$

I-solve ang x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}\approx 2.5-2.34520788i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}\approx 2.5+2.34520788i$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang -4 para sa a, 20 para sa b, at -47 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

I-square ang 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

I-multiply ang -4 times -4.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+16\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

I-multiply ang 16 times -47.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-752}}{2\left(-4\right)}$$

Idagdag ang 400 sa -752.

$$x=\frac{-20±\sqrt{-352}}{2\left(-4\right)}$$

Kunin ang square root ng -352.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{2\left(-4\right)}$$

I-multiply ang 2 times -4.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -20 sa 4i\sqrt{22}.

$$x=\frac{-20+4\sqrt{22}i}{-8}$$

I-divide ang -20+4i\sqrt{22} gamit ang -8.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 4i\sqrt{22} mula sa -20.

$$x=\frac{-4\sqrt{22}i-20}{-8}$$

I-divide ang -20-4i\sqrt{22} gamit ang -8.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2} x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Idagdag ang 47 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-4x^{2}+20x-47-\left(-47\right)=-\left(-47\right)$$

Kapag na-subtract ang -47 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$-4x^{2}+20x=-\left(-47\right)$$

I-subtract ang -47 mula sa 0.

$$-4x^{2}+20x=47$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -4.

$$\frac{-4x^{2}+20x}{-4}=\frac{47}{-4}$$

Kapag na-divide gamit ang -4, ma-a-undo ang multiplication gamit ang -4.

$$x^{2}+\frac{20}{-4}x=\frac{47}{-4}$$

I-divide ang 20 gamit ang -4.

$$x^{2}-5x=\frac{47}{-4}$$

I-divide ang 47 gamit ang -4.

$$x^{2}-5x=-\frac{47}{4}$$

I-divide ang -5, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{5}{2}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{5}{2} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{47}{4}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{5}{2} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{-47+25}{4}$$

Idagdag ang -\frac{47}{4} sa \frac{25}{4} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{11}{2}$$

I-factor ang x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{2}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{2}}$$

Pasimplehin.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{22}i}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{22}i}{2}$$

Idagdag ang \frac{5}{2} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2} x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$