Lutasin ang -4a^2-3a+1=0

$$-4 { a }^{ 2 } -3a+1 = 0$$

I-solve ang a

$$a=\frac{1}{4}=0.25$$

$$a=-1$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang -4a^{2}+aa+ba+1. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-3 ab=-4=-4$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, mas malaki ang absolute value ng negative na numero kaysa sa positive. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -4.

$$1,-4 2,-2$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1-4=-3 2-2=0$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -3.

$$a=1 b=-4$$

I-rewrite ang -4a^{2}-3a+1 bilang \left(-4a^{2}+a\right)+\left(-4a+1\right).

$$\left(-4a^{2}+a\right)+\left(-4a+1\right)$$

I-factor out ang -a sa unang grupo at ang -1 sa pangalawang grupo.

$$-a\left(4a-1\right)-\left(4a-1\right)$$

I-factor out ang common term na 4a-1 gamit ang distributive property.

$$\left(4a-1\right)\left(-a-1\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 4a-1=0 at -a-1=0.

$$a=\frac{1}{4} a=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$-4a^{2}-3a+1=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang -4 para sa a, -3 para sa b, at 1 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

I-square ang -3.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

I-multiply ang -4 times -4.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+16}}{2\left(-4\right)}$$

Idagdag ang 9 sa 16.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{25}}{2\left(-4\right)}$$

Kunin ang square root ng 25.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±5}{2\left(-4\right)}$$

Ang kabaliktaran ng -3 ay 3.

$$a=\frac{3±5}{2\left(-4\right)}$$

I-multiply ang 2 times -4.

$$a=\frac{3±5}{-8}$$

Ngayon, lutasin ang equation na a=\frac{3±5}{-8} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 3 sa 5.

$$a=\frac{8}{-8}$$

I-divide ang 8 gamit ang -8.

$$a=-1$$

Ngayon, lutasin ang equation na a=\frac{3±5}{-8} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 5 mula sa 3.

$$a=-\frac{2}{-8}$$

Bawasan ang fraction \frac{-2}{-8} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$a=\frac{1}{4}$$

Nalutas na ang equation.

$$a=-1 a=\frac{1}{4}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$-4a^{2}-3a+1=0$$

I-subtract ang 1 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-4a^{2}-3a+1-1=-1$$

Kapag na-subtract ang 1 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$-4a^{2}-3a=-1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -4.

$$\frac{-4a^{2}-3a}{-4}=-\frac{1}{-4}$$

Kapag na-divide gamit ang -4, ma-a-undo ang multiplication gamit ang -4.

$$a^{2}+\left(-\frac{3}{-4}\right)a=-\frac{1}{-4}$$

I-divide ang -3 gamit ang -4.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a=-\frac{1}{-4}$$

I-divide ang -1 gamit ang -4.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a=\frac{1}{4}$$

I-divide ang \frac{3}{4}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang \frac{3}{8}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng \frac{3}{8} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$$

I-square ang \frac{3}{8} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a+\frac{9}{64}=\frac{1}{4}+\frac{9}{64}$$

Idagdag ang \frac{1}{4} sa \frac{9}{64} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a+\frac{9}{64}=\frac{25}{64}$$

I-factor ang a^{2}+\frac{3}{4}a+\frac{9}{64}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a+\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{25}{64}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(a+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{64}}$$

Pasimplehin.

$$a+\frac{3}{8}=\frac{5}{8} a+\frac{3}{8}=-\frac{5}{8}$$

I-subtract ang \frac{3}{8} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$a=\frac{1}{4} a=-1$$