Lutasin ang -x^2-x-1=0

$$- x ^ { 2 } - x - 1 = 0$$

I-solve ang x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0.5-0.866025404i$$

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\approx -0.5+0.866025404i$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$-x^{2}-x-1=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang -1 para sa a, -1 para sa b, at -1 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

I-multiply ang -4 times -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

I-multiply ang 4 times -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4}}{2\left(-1\right)}$$

Idagdag ang 1 sa -4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-3}}{2\left(-1\right)}$$

Kunin ang square root ng -3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{3}i}{2\left(-1\right)}$$

Ang kabaliktaran ng -1 ay 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{3}i}{2\left(-1\right)}$$

I-multiply ang 2 times -1.

$$x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 1 sa i\sqrt{3}.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{-2}$$

I-divide ang 1+i\sqrt{3} gamit ang -2.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang i\sqrt{3} mula sa 1.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{-2}$$

I-divide ang 1-i\sqrt{3} gamit ang -2.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-x-1=0$$

Idagdag ang 1 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Kapag na-subtract ang -1 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$-x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

I-subtract ang -1 mula sa 0.

$$-x^{2}-x=1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$\frac{-x^{2}-x}{-1}=\frac{1}{-1}$$

Kapag na-divide gamit ang -1, ma-a-undo ang multiplication gamit ang -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-1}\right)x=\frac{1}{-1}$$

I-divide ang -1 gamit ang -1.

$$x^{2}+x=\frac{1}{-1}$$

I-divide ang 1 gamit ang -1.

$$x^{2}+x=-1$$

I-divide ang 1, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang \frac{1}{2}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng \frac{1}{2} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

I-square ang \frac{1}{2} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}$$

Idagdag ang -1 sa \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

I-factor ang x^{2}+x+\frac{1}{4}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay isang perfect square, palaging maaari itong i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Pasimplehin.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

I-subtract ang \frac{1}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$