Lutasin ang -16t^2+96t-108

$$- 16 t ^ { 2 } + 96 t - 108$$

I-factor

$$4\left(3-2t\right)\left(2t-9\right)$$

Mga Hakbang ng Solution

I-factor out ang 4.

$$4\left(-4t^{2}+24t-27\right)$$

Isaalang-alang ang -4t^{2}+24t-27. I-factor ang expression ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang expression bilang -4t^{2}+at+bt-27. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=24 ab=-4\left(-27\right)=108$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, parehong positive ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 108.

$$1,108 2,54 3,36 4,27 6,18 9,12$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1+108=109 2+54=56 3+36=39 4+27=31 6+18=24 9+12=21$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 24.

$$a=18 b=6$$

I-rewrite ang -4t^{2}+24t-27 bilang \left(-4t^{2}+18t\right)+\left(6t-27\right).

$$\left(-4t^{2}+18t\right)+\left(6t-27\right)$$

I-factor out ang -2t sa unang grupo at ang 3 sa pangalawang grupo.

$$-2t\left(2t-9\right)+3\left(2t-9\right)$$

I-factor out ang common term na 2t-9 gamit ang distributive property.

$$\left(2t-9\right)\left(-2t+3\right)$$

I-rewrite ang kumpletong naka-factor na expression.

$$4\left(2t-9\right)\left(-2t+3\right)$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Maaaring i-factor ang quadratic polynomial gamit ang transformation na ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kung saan ang x_{1} at x_{2} ay ang mga solution ng quadratic equation na ax^{2}+bx+c=0.

$$-16t^{2}+96t-108=0$$

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$t=\frac{-96±\sqrt{96^{2}-4\left(-16\right)\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

I-square ang 96.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216-4\left(-16\right)\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

I-multiply ang -4 times -16.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216+64\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

I-multiply ang 64 times -108.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216-6912}}{2\left(-16\right)}$$

Idagdag ang 9216 sa -6912.

$$t=\frac{-96±\sqrt{2304}}{2\left(-16\right)}$$

Kunin ang square root ng 2304.

$$t=\frac{-96±48}{2\left(-16\right)}$$

I-multiply ang 2 times -16.

$$t=\frac{-96±48}{-32}$$

Ngayon, lutasin ang equation na t=\frac{-96±48}{-32} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -96 sa 48.

$$t=-\frac{48}{-32}$$

Bawasan ang fraction \frac{-48}{-32} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 16.

$$t=\frac{3}{2}$$

Ngayon, lutasin ang equation na t=\frac{-96±48}{-32} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 48 mula sa -96.

$$t=-\frac{144}{-32}$$

Bawasan ang fraction \frac{-144}{-32} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 16.

$$t=\frac{9}{2}$$

I-factor ang orihinal na expression gamit ang ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). I-substitute ang \frac{3}{2} sa x_{1} at ang \frac{9}{2} sa x_{2}.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\left(t-\frac{3}{2}\right)\left(t-\frac{9}{2}\right)$$

I-subtract ang \frac{3}{2} mula sa t sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagsu-subtract sa mga numerator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{-2t+3}{-2}\left(t-\frac{9}{2}\right)$$

I-subtract ang \frac{9}{2} mula sa t sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagsu-subtract sa mga numerator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{-2t+3}{-2}\times \frac{-2t+9}{-2}$$

I-multiply ang \frac{-2t+3}{-2} times \frac{-2t+9}{-2} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)}{-2\left(-2\right)}$$

I-multiply ang -2 times -2.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)}{4}$$

Kanselahin ang greatest common factor na 4 sa -16 at 4.

$$-16t^{2}+96t-108=-4\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)$$

I-evaluate

$$-16t^{2}+96t-108$$