Lutasin ang (x^{2}+x+1)(x^2+x-1)-(x^2-1)^2-3(x-1)(x+1)-2^0

$$( x ^ { 2 } + x + 1 ) ( x ^ { 2 } + x - 1 ) - ( x ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } - 3 ( x - 1 ) ( x + 1 ) - 2 ^ { 0 }$$

I-evaluate

$$2x^{3}$$

Mga Hakbang ng Solution

Isaalang-alang ang \left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{2}+x-1\right). Maaaring ma-transform ang pag-multiply sa difference ng mga square gamit ang rule na: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}, kung saan a=x^{2}+x at b=1. I-square ang 1.

$$\left(x^{2}+x\right)^{2}-1-\left(x^{2}-1\right)^{2}-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)-2^{0}$$

Gamitin ang binomial theorem na \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para palawakin ang \left(x^{2}+x\right)^{2}.

$$\left(x^{2}\right)^{2}+2x^{2}x+x^{2}-1-\left(x^{2}-1\right)^{2}-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)-2^{0}$$

Para mag-raise ng power ng numero gamit ang ibang power, i-multiply ang mga exponent. I-multiply ang 2 at 2 para makuha ang 4.

$$x^{4}+2x^{2}x+x^{2}-1-\left(x^{2}-1\right)^{2}-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)-2^{0}$$

Para mag-multiply ng mga power na may parehong base, i-add ang mga exponent ng mga ito. I-add ang 2 at 1 para makuha ang 3.

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}-1-\left(x^{2}-1\right)^{2}-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)-2^{0}$$

Gamitin ang binomial theorem na \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para palawakin ang \left(x^{2}-1\right)^{2}.

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}-1-\left(\left(x^{2}\right)^{2}-2x^{2}+1\right)-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)-2^{0}$$

Para mag-raise ng power ng numero gamit ang ibang power, i-multiply ang mga exponent. I-multiply ang 2 at 2 para makuha ang 4.

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}-1-\left(x^{4}-2x^{2}+1\right)-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)-2^{0}$$

Para hanapin ang kabaligtaran ng x^{4}-2x^{2}+1, hanapin ang kabaligtaran ng bawat term.

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}-1-x^{4}+2x^{2}-1-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)-2^{0}$$

Pagsamahin ang x^{4} at -x^{4} para makuha ang 0.

$$2x^{3}+x^{2}-1+2x^{2}-1-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)-2^{0}$$

Pagsamahin ang x^{2} at 2x^{2} para makuha ang 3x^{2}.

$$2x^{3}+3x^{2}-1-1-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)-2^{0}$$

I-subtract ang 1 mula sa -1 para makuha ang -2.

$$2x^{3}+3x^{2}-2-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)-2^{0}$$

Kalkulahin ang 2 sa power ng 0 at kunin ang 1.

$$2x^{3}+3x^{2}-2-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)-1$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -3 gamit ang x-1.

$$2x^{3}+3x^{2}-2+\left(-3x+3\right)\left(x+1\right)-1$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -3x+3 sa x+1 at para pagsamahin ang magkakatulad na term.

$$2x^{3}+3x^{2}-2-3x^{2}+3-1$$

Pagsamahin ang 3x^{2} at -3x^{2} para makuha ang 0.

$$2x^{3}-2+3-1$$

Idagdag ang -2 at 3 para makuha ang 1.

$$2x^{3}+1-1$$

I-subtract ang 1 mula sa 1 para makuha ang 0.

$$2x^{3}$$

I-differentiate ang w.r.t. x

$$6x^{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Definition of a Derivative

Isaalang-alang ang \left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{2}+x-1\right). Maaaring ma-transform ang pag-multiply sa difference ng mga square gamit ang rule na: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}, kung saan a=x^{2}+x at b=1. I-square ang 1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\left(x^{2}+x\right)^{2}-1-\left(x^{2}-1\right)^{2}-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)-2^{0})$$

Gamitin ang binomial theorem na \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para palawakin ang \left(x^{2}+x\right)^{2}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\left(x^{2}\right)^{2}+2x^{2}x+x^{2}-1-\left(x^{2}-1\right)^{2}-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)-2^{0})$$

Para mag-raise ng power ng numero gamit ang ibang power, i-multiply ang mga exponent. I-multiply ang 2 at 2 para makuha ang 4.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{4}+2x^{2}x+x^{2}-1-\left(x^{2}-1\right)^{2}-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)-2^{0})$$

Para mag-multiply ng mga power na may parehong base, i-add ang mga exponent ng mga ito. I-add ang 2 at 1 para makuha ang 3.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{4}+2x^{3}+x^{2}-1-\left(x^{2}-1\right)^{2}-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)-2^{0})$$

Gamitin ang binomial theorem na \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para palawakin ang \left(x^{2}-1\right)^{2}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{4}+2x^{3}+x^{2}-1-\left(\left(x^{2}\right)^{2}-2x^{2}+1\right)-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)-2^{0})$$

Para mag-raise ng power ng numero gamit ang ibang power, i-multiply ang mga exponent. I-multiply ang 2 at 2 para makuha ang 4.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{4}+2x^{3}+x^{2}-1-\left(x^{4}-2x^{2}+1\right)-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)-2^{0})$$

Para hanapin ang kabaligtaran ng x^{4}-2x^{2}+1, hanapin ang kabaligtaran ng bawat term.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{4}+2x^{3}+x^{2}-1-x^{4}+2x^{2}-1-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)-2^{0})$$

Pagsamahin ang x^{4} at -x^{4} para makuha ang 0.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2x^{3}+x^{2}-1+2x^{2}-1-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)-2^{0})$$

Pagsamahin ang x^{2} at 2x^{2} para makuha ang 3x^{2}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2x^{3}+3x^{2}-1-1-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)-2^{0})$$

I-subtract ang 1 mula sa -1 para makuha ang -2.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2x^{3}+3x^{2}-2-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)-2^{0})$$

Kalkulahin ang 2 sa power ng 0 at kunin ang 1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2x^{3}+3x^{2}-2-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)-1)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -3 gamit ang x-1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2x^{3}+3x^{2}-2+\left(-3x+3\right)\left(x+1\right)-1)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -3x+3 sa x+1 at para pagsamahin ang magkakatulad na term.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2x^{3}+3x^{2}-2-3x^{2}+3-1)$$

Pagsamahin ang 3x^{2} at -3x^{2} para makuha ang 0.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2x^{3}-2+3-1)$$

Idagdag ang -2 at 3 para makuha ang 1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2x^{3}+1-1)$$

I-subtract ang 1 mula sa 1 para makuha ang 0.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2x^{3})$$

Ang derivative ng ax^{n} ay nax^{n-1}.

$$3\times 2x^{3-1}$$

I-multiply ang 3 times 2.

$$6x^{3-1}$$

I-subtract ang 1 mula sa 3.

$$6x^{2}$$