Lutasin ang (4sqrt{3}+frac{xsqrt{3}}{2})^2+x^2/4=156

$$( 4 \sqrt { 3 } + \frac { x \sqrt { 3 } } { 2 } ) ^ { 2 } + \frac { x ^ { 2 } } { 4 } = 156$$

I-solve ang x

$$x=-18$$

$$x=6$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Gamitin ang binomial theorem na \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para palawakin ang \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Ang square ng \sqrt{3} ay 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

I-multiply ang 16 at 3 para makuha ang 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Kanselahin ang greatest common factor na 2 sa 8 at 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Para i-raise ang \frac{x\sqrt{3}}{2} sa isang power, parehong i-raise ang numerator at denominator sa power at pagkatapos ay mag-divide.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Para magdagdag o mag-subtract ng mga expression, i-expand ang mga iyon para gawing magkakapareho ang mga denominator ng mga ito. I-multiply ang 48 times \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Dahil may parehong denominator ang \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} at \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}, pagsamahin ang mga ito sa pamamagitan ng pagsasama sa mga numerator ng mga ito.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 4 gamit ang \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Kalkulahin ang 2 sa power ng 2 at kunin ang 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

I-multiply ang 48 at 4 para makuha ang 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Palawakin ang \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Ang square ng \sqrt{3} ay 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Kalkulahin ang 2 sa power ng 2 at kunin ang 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Ipakita ang 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} bilang isang single fraction.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

I-cancel out ang 4 at 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Ang square ng \sqrt{3} ay 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

I-multiply ang 16 at 3 para makuha ang 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Pagsamahin ang x^{2}\times 3 at x^{2} para makuha ang 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

I-subtract ang 624 mula sa magkabilang dulo.

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

I-subtract ang 624 mula sa 192 para makuha ang -432.

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$-108+x^{2}+12x=0$$

Isaayos ang polynomial para gawin itong standard form. Pagsunud-sunurin ang mga term mula sa pinakamalaki hanggang pinakamaliit na power.

$$x^{2}+12x-108=0$$

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang x^{2}+ax+bx-108. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=12 ab=1\left(-108\right)=-108$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, mas malaki ang absolute value ng positive na numero kaysa sa negative. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -108.

$$-1,108 -2,54 -3,36 -4,27 -6,18 -9,12$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1+108=107 -2+54=52 -3+36=33 -4+27=23 -6+18=12 -9+12=3$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 12.

$$a=-6 b=18$$

I-rewrite ang x^{2}+12x-108 bilang \left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right)$$

I-factor out ang x sa unang grupo at ang 18 sa pangalawang grupo.

$$x\left(x-6\right)+18\left(x-6\right)$$

I-factor out ang common term na x-6 gamit ang distributive property.

$$\left(x-6\right)\left(x+18\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang x-6=0 at x+18=0.

$$x=6 x=-18$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Gamitin ang binomial theorem na \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para palawakin ang \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Ang square ng \sqrt{3} ay 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

I-multiply ang 16 at 3 para makuha ang 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Kanselahin ang greatest common factor na 2 sa 8 at 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Para i-raise ang \frac{x\sqrt{3}}{2} sa isang power, parehong i-raise ang numerator at denominator sa power at pagkatapos ay mag-divide.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Para magdagdag o mag-subtract ng mga expression, i-expand ang mga iyon para gawing magkakapareho ang mga denominator ng mga ito. I-multiply ang 48 times \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Dahil may parehong denominator ang \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} at \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}, pagsamahin ang mga ito sa pamamagitan ng pagsasama sa mga numerator ng mga ito.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 4 gamit ang \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Kalkulahin ang 2 sa power ng 2 at kunin ang 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

I-multiply ang 48 at 4 para makuha ang 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Palawakin ang \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Ang square ng \sqrt{3} ay 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Kalkulahin ang 2 sa power ng 2 at kunin ang 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Ipakita ang 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} bilang isang single fraction.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

I-cancel out ang 4 at 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Ang square ng \sqrt{3} ay 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

I-multiply ang 16 at 3 para makuha ang 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Pagsamahin ang x^{2}\times 3 at x^{2} para makuha ang 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

I-subtract ang 624 mula sa magkabilang dulo.

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

I-subtract ang 624 mula sa 192 para makuha ang -432.

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$4x^{2}+48x-432=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 4 para sa a, 48 para sa b, at -432 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

I-square ang 48.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

I-multiply ang -4 times 4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

I-multiply ang -16 times -432.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+6912}}{2\times 4}$$

Idagdag ang 2304 sa 6912.

$$x=\frac{-48±\sqrt{9216}}{2\times 4}$$

Kunin ang square root ng 9216.

$$x=\frac{-48±96}{2\times 4}$$

I-multiply ang 2 times 4.

$$x=\frac{-48±96}{8}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-48±96}{8} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -48 sa 96.

$$x=\frac{48}{8}$$

I-divide ang 48 gamit ang 8.

$$x=6$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-48±96}{8} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 96 mula sa -48.

$$x=-\frac{144}{8}$$

I-divide ang -144 gamit ang 8.

$$x=-18$$

Nalutas na ang equation.

$$x=6 x=-18$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Gamitin ang binomial theorem na \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para palawakin ang \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Ang square ng \sqrt{3} ay 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

I-multiply ang 16 at 3 para makuha ang 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Kanselahin ang greatest common factor na 2 sa 8 at 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Para i-raise ang \frac{x\sqrt{3}}{2} sa isang power, parehong i-raise ang numerator at denominator sa power at pagkatapos ay mag-divide.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Para magdagdag o mag-subtract ng mga expression, i-expand ang mga iyon para gawing magkakapareho ang mga denominator ng mga ito. I-multiply ang 48 times \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Dahil may parehong denominator ang \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} at \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}, pagsamahin ang mga ito sa pamamagitan ng pagsasama sa mga numerator ng mga ito.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 4 gamit ang \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Kalkulahin ang 2 sa power ng 2 at kunin ang 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

I-multiply ang 48 at 4 para makuha ang 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Palawakin ang \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Ang square ng \sqrt{3} ay 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Kalkulahin ang 2 sa power ng 2 at kunin ang 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Ipakita ang 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} bilang isang single fraction.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

I-cancel out ang 4 at 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Ang square ng \sqrt{3} ay 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

I-multiply ang 16 at 3 para makuha ang 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Pagsamahin ang x^{2}\times 3 at x^{2} para makuha ang 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

I-subtract ang 192 mula sa magkabilang dulo.

$$4x^{2}+48x=624-192$$

I-subtract ang 192 mula sa 624 para makuha ang 432.

$$4x^{2}+48x=432$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{432}{4}$$

Kapag na-divide gamit ang 4, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 4.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{432}{4}$$

I-divide ang 48 gamit ang 4.

$$x^{2}+12x=\frac{432}{4}$$

I-divide ang 432 gamit ang 4.

$$x^{2}+12x=108$$

I-divide ang 12, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang 6. Pagkatapos ay idagdag ang square ng 6 sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}+12x+6^{2}=108+6^{2}$$

I-square ang 6.

$$x^{2}+12x+36=108+36$$

Idagdag ang 108 sa 36.

$$x^{2}+12x+36=144$$

I-factor ang x^{2}+12x+36. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=144$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{144}$$

Pasimplehin.

$$x+6=12 x+6=-12$$

I-subtract ang 6 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=6 x=-18$$