Lutasin ang (23-x)^2+x^2=17^2

$$( 23 - x ) ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 17 ^ { 2 }$$

I-solve ang x

$$x=8$$

$$x=15$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Gamitin ang binomial theorem na \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para palawakin ang \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Pagsamahin ang x^{2} at x^{2} para makuha ang 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Kalkulahin ang 17 sa power ng 2 at kunin ang 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

I-subtract ang 289 mula sa magkabilang dulo.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

I-subtract ang 289 mula sa 529 para makuha ang 240.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$120-23x+x^{2}=0$$

Isaayos ang polynomial para gawin itong standard form. Pagsunud-sunurin ang mga term mula sa pinakamalaki hanggang pinakamaliit na power.

$$x^{2}-23x+120=0$$

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang x^{2}+ax+bx+120. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-23 ab=1\times 120=120$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, parehong negative ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -23.

$$a=-15 b=-8$$

I-rewrite ang x^{2}-23x+120 bilang \left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right).

$$\left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right)$$

I-factor out ang x sa unang grupo at ang -8 sa pangalawang grupo.

$$x\left(x-15\right)-8\left(x-15\right)$$

I-factor out ang common term na x-15 gamit ang distributive property.

$$\left(x-15\right)\left(x-8\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang x-15=0 at x-8=0.

$$x=15 x=8$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Gamitin ang binomial theorem na \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para palawakin ang \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Pagsamahin ang x^{2} at x^{2} para makuha ang 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Kalkulahin ang 17 sa power ng 2 at kunin ang 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

I-subtract ang 289 mula sa magkabilang dulo.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

I-subtract ang 289 mula sa 529 para makuha ang 240.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$2x^{2}-46x+240=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 2 para sa a, -46 para sa b, at 240 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{\left(-46\right)^{2}-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

I-square ang -46.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

I-multiply ang -4 times 2.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-8\times 240}}{2\times 2}$$

I-multiply ang -8 times 240.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-1920}}{2\times 2}$$

Idagdag ang 2116 sa -1920.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{196}}{2\times 2}$$

Kunin ang square root ng 196.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±14}{2\times 2}$$

Ang kabaliktaran ng -46 ay 46.

$$x=\frac{46±14}{2\times 2}$$

I-multiply ang 2 times 2.

$$x=\frac{46±14}{4}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{46±14}{4} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 46 sa 14.

$$x=\frac{60}{4}$$

I-divide ang 60 gamit ang 4.

$$x=15$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{46±14}{4} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 14 mula sa 46.

$$x=\frac{32}{4}$$

I-divide ang 32 gamit ang 4.

$$x=8$$

Nalutas na ang equation.

$$x=15 x=8$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Gamitin ang binomial theorem na \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para palawakin ang \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Pagsamahin ang x^{2} at x^{2} para makuha ang 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Kalkulahin ang 17 sa power ng 2 at kunin ang 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

I-subtract ang 529 mula sa magkabilang dulo.

$$-46x+2x^{2}=289-529$$

I-subtract ang 529 mula sa 289 para makuha ang -240.

$$-46x+2x^{2}=-240$$

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-46x=-240$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$\frac{2x^{2}-46x}{2}=-\frac{240}{2}$$

Kapag na-divide gamit ang 2, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{46}{2}\right)x=-\frac{240}{2}$$

I-divide ang -46 gamit ang 2.

$$x^{2}-23x=-\frac{240}{2}$$

I-divide ang -240 gamit ang 2.

$$x^{2}-23x=-120$$

I-divide ang -23, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{23}{2}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{23}{2} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-23x+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}=-120+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{23}{2} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=-120+\frac{529}{4}$$

Idagdag ang -120 sa \frac{529}{4}.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=\frac{49}{4}$$

I-factor ang x^{2}-23x+\frac{529}{4}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Pasimplehin.

$$x-\frac{23}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{23}{2}=-\frac{7}{2}$$

Idagdag ang \frac{23}{2} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=15 x=8$$