Lutasin ang (22+51x-10x^2)_{max}

$$( 22 + 51 x - 10 x ^ { 2 } ) _ { \max }$$

I-factor

$$-\left(2x-11\right)\left(5x+2\right)$$

Mga Hakbang ng Solution

Isaayos ang polynomial para gawin itong standard form. Pagsunud-sunurin ang mga term mula sa pinakamalaki hanggang pinakamaliit na power.

$$-10x^{2}+51x+22$$

I-factor ang expression ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang expression bilang -10x^{2}+ax+bx+22. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=51 ab=-10\times 22=-220$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, mas malaki ang absolute value ng positive na numero kaysa sa negative. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -220.

$$-1,220 -2,110 -4,55 -5,44 -10,22 -11,20$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1+220=219 -2+110=108 -4+55=51 -5+44=39 -10+22=12 -11+20=9$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 51.

$$a=55 b=-4$$

I-rewrite ang -10x^{2}+51x+22 bilang \left(-10x^{2}+55x\right)+\left(-4x+22\right).

$$\left(-10x^{2}+55x\right)+\left(-4x+22\right)$$

I-factor out ang -5x sa unang grupo at ang -2 sa pangalawang grupo.

$$-5x\left(2x-11\right)-2\left(2x-11\right)$$

I-factor out ang common term na 2x-11 gamit ang distributive property.

$$\left(2x-11\right)\left(-5x-2\right)$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Maaaring i-factor ang quadratic polynomial gamit ang transformation na ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kung saan ang x_{1} at x_{2} ay ang mga solution ng quadratic equation na ax^{2}+bx+c=0.

$$-10x^{2}+51x+22=0$$

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-10\right)\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

I-square ang 51.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-10\right)\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

I-multiply ang -4 times -10.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+40\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

I-multiply ang 40 times 22.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+880}}{2\left(-10\right)}$$

Idagdag ang 2601 sa 880.

$$x=\frac{-51±\sqrt{3481}}{2\left(-10\right)}$$

Kunin ang square root ng 3481.

$$x=\frac{-51±59}{2\left(-10\right)}$$

I-multiply ang 2 times -10.

$$x=\frac{-51±59}{-20}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-51±59}{-20} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -51 sa 59.

$$x=\frac{8}{-20}$$

Bawasan ang fraction \frac{8}{-20} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 4.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-51±59}{-20} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 59 mula sa -51.

$$x=-\frac{110}{-20}$$

Bawasan ang fraction \frac{-110}{-20} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 10.

$$x=\frac{11}{2}$$

I-factor ang orihinal na expression gamit ang ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). I-substitute ang -\frac{2}{5} sa x_{1} at ang \frac{11}{2} sa x_{2}.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\left(x-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Pasimplehin ang lahat ng expression ng form na p-\left(-q\right) at gawing p+q.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\left(x+\frac{2}{5}\right)\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Idagdag ang \frac{2}{5} sa x sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{-5x-2}{-5}\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

I-subtract ang \frac{11}{2} mula sa x sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagsu-subtract sa mga numerator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{-5x-2}{-5}\times \frac{-2x+11}{-2}$$

I-multiply ang \frac{-5x-2}{-5} times \frac{-2x+11}{-2} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)}{-5\left(-2\right)}$$

I-multiply ang -5 times -2.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)}{10}$$

Kanselahin ang greatest common factor na 10 sa -10 at 10.

$$-10x^{2}+51x+22=-\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)$$

I-evaluate

$$22+51x-10x^{2}$$