Lutasin ang (2x-3)^2-(x+5)^2=-23

$$( 2 x - 3 ) ^ { 2 } - ( x + 5 ) ^ { 2 } = - 23$$

I-solve ang x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$x=7$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Gamitin ang binomial theorem na \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para palawakin ang \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Gamitin ang binomial theorem na \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para palawakin ang \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Para hanapin ang kabaligtaran ng x^{2}+10x+25, hanapin ang kabaligtaran ng bawat term.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Pagsamahin ang 4x^{2} at -x^{2} para makuha ang 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Pagsamahin ang -12x at -10x para makuha ang -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

I-subtract ang 25 mula sa 9 para makuha ang -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Idagdag ang 23 sa parehong bahagi.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

Idagdag ang -16 at 23 para makuha ang 7.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 3x^{2}+ax+bx+7. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-22 ab=3\times 7=21$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, parehong negative ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 21.

$$-1,-21 -3,-7$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1-21=-22 -3-7=-10$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -22.

$$a=-21 b=-1$$

I-rewrite ang 3x^{2}-22x+7 bilang \left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right).

$$\left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right)$$

I-factor out ang 3x sa unang grupo at ang -1 sa pangalawang grupo.

$$3x\left(x-7\right)-\left(x-7\right)$$

I-factor out ang common term na x-7 gamit ang distributive property.

$$\left(x-7\right)\left(3x-1\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang x-7=0 at 3x-1=0.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Gamitin ang binomial theorem na \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para palawakin ang \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Gamitin ang binomial theorem na \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para palawakin ang \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Para hanapin ang kabaligtaran ng x^{2}+10x+25, hanapin ang kabaligtaran ng bawat term.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Pagsamahin ang 4x^{2} at -x^{2} para makuha ang 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Pagsamahin ang -12x at -10x para makuha ang -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

I-subtract ang 25 mula sa 9 para makuha ang -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Idagdag ang 23 sa parehong bahagi.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

Idagdag ang -16 at 23 para makuha ang 7.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 3 para sa a, -22 para sa b, at 7 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

I-square ang -22.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

I-multiply ang -4 times 3.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-12\times 7}}{2\times 3}$$

I-multiply ang -12 times 7.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-84}}{2\times 3}$$

Idagdag ang 484 sa -84.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

Kunin ang square root ng 400.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±20}{2\times 3}$$

Ang kabaliktaran ng -22 ay 22.

$$x=\frac{22±20}{2\times 3}$$

I-multiply ang 2 times 3.

$$x=\frac{22±20}{6}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{22±20}{6} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 22 sa 20.

$$x=\frac{42}{6}$$

I-divide ang 42 gamit ang 6.

$$x=7$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{22±20}{6} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 20 mula sa 22.

$$x=\frac{2}{6}$$

Bawasan ang fraction \frac{2}{6} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Gamitin ang binomial theorem na \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para palawakin ang \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Gamitin ang binomial theorem na \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para palawakin ang \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Para hanapin ang kabaligtaran ng x^{2}+10x+25, hanapin ang kabaligtaran ng bawat term.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Pagsamahin ang 4x^{2} at -x^{2} para makuha ang 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Pagsamahin ang -12x at -10x para makuha ang -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

I-subtract ang 25 mula sa 9 para makuha ang -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Idagdag ang 16 sa parehong bahagi.

$$3x^{2}-22x=-23+16$$

Idagdag ang -23 at 16 para makuha ang -7.

$$3x^{2}-22x=-7$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$\frac{3x^{2}-22x}{3}=-\frac{7}{3}$$

Kapag na-divide gamit ang 3, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 3.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x=-\frac{7}{3}$$

I-divide ang -\frac{22}{3}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{11}{3}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{11}{3} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{11}{3} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{121}{9}$$

Idagdag ang -\frac{7}{3} sa \frac{121}{9} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=\frac{100}{9}$$

I-factor ang x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Pasimplehin.

$$x-\frac{11}{3}=\frac{10}{3} x-\frac{11}{3}=-\frac{10}{3}$$

Idagdag ang \frac{11}{3} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$