Lutasin ang (2x+3)(x^2-16)+(x-4)(x+40)=2(x-4)(x^2-16)

$$( 2 x + 3 ) ( x ^ { 2 } - 16 ) + ( x - 4 ) ( x + 40 ) = 2 ( x - 4 ) ( x ^ { 2 } - 16 )$$

I-solve ang x

$$x=-7$$

$$x=4$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2x+3 gamit ang x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang x-4 sa x+40 at para pagsamahin ang magkakatulad na term.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Pagsamahin ang 3x^{2} at x^{2} para makuha ang 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Pagsamahin ang -32x at 36x para makuha ang 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

I-subtract ang 160 mula sa -48 para makuha ang -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2x-8 gamit ang x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

I-subtract ang 2x^{3} mula sa magkabilang dulo.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Pagsamahin ang 2x^{3} at -2x^{3} para makuha ang 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Idagdag ang 32x sa parehong bahagi.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Pagsamahin ang 4x at 32x para makuha ang 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Idagdag ang 8x^{2} sa parehong bahagi.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Pagsamahin ang 4x^{2} at 8x^{2} para makuha ang 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

I-subtract ang 128 mula sa magkabilang dulo.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

I-subtract ang 128 mula sa -208 para makuha ang -336.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 12.

$$3x+x^{2}-28=0$$

Isaayos ang polynomial para gawin itong standard form. Pagsunud-sunurin ang mga term mula sa pinakamalaki hanggang pinakamaliit na power.

$$x^{2}+3x-28=0$$

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang x^{2}+ax+bx-28. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, mas malaki ang absolute value ng positive na numero kaysa sa negative. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 3.

$$a=-4 b=7$$

I-rewrite ang x^{2}+3x-28 bilang \left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)$$

I-factor out ang x sa unang grupo at ang 7 sa pangalawang grupo.

$$x\left(x-4\right)+7\left(x-4\right)$$

I-factor out ang common term na x-4 gamit ang distributive property.

$$\left(x-4\right)\left(x+7\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang x-4=0 at x+7=0.

$$x=4 x=-7$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2x+3 gamit ang x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang x-4 sa x+40 at para pagsamahin ang magkakatulad na term.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Pagsamahin ang 3x^{2} at x^{2} para makuha ang 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Pagsamahin ang -32x at 36x para makuha ang 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

I-subtract ang 160 mula sa -48 para makuha ang -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2x-8 gamit ang x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

I-subtract ang 2x^{3} mula sa magkabilang dulo.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Pagsamahin ang 2x^{3} at -2x^{3} para makuha ang 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Idagdag ang 32x sa parehong bahagi.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Pagsamahin ang 4x at 32x para makuha ang 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Idagdag ang 8x^{2} sa parehong bahagi.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Pagsamahin ang 4x^{2} at 8x^{2} para makuha ang 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

I-subtract ang 128 mula sa magkabilang dulo.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

I-subtract ang 128 mula sa -208 para makuha ang -336.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$12x^{2}+36x-336=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 12 para sa a, 36 para sa b, at -336 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

I-square ang 36.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

I-multiply ang -4 times 12.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-48\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

I-multiply ang -48 times -336.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296+16128}}{2\times 12}$$

Idagdag ang 1296 sa 16128.

$$x=\frac{-36±\sqrt{17424}}{2\times 12}$$

Kunin ang square root ng 17424.

$$x=\frac{-36±132}{2\times 12}$$

I-multiply ang 2 times 12.

$$x=\frac{-36±132}{24}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-36±132}{24} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -36 sa 132.

$$x=\frac{96}{24}$$

I-divide ang 96 gamit ang 24.

$$x=4$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-36±132}{24} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 132 mula sa -36.

$$x=-\frac{168}{24}$$

I-divide ang -168 gamit ang 24.

$$x=-7$$

Nalutas na ang equation.

$$x=4 x=-7$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2x+3 gamit ang x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang x-4 sa x+40 at para pagsamahin ang magkakatulad na term.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Pagsamahin ang 3x^{2} at x^{2} para makuha ang 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Pagsamahin ang -32x at 36x para makuha ang 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

I-subtract ang 160 mula sa -48 para makuha ang -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2x-8 gamit ang x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

I-subtract ang 2x^{3} mula sa magkabilang dulo.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Pagsamahin ang 2x^{3} at -2x^{3} para makuha ang 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Idagdag ang 32x sa parehong bahagi.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Pagsamahin ang 4x at 32x para makuha ang 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Idagdag ang 8x^{2} sa parehong bahagi.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Pagsamahin ang 4x^{2} at 8x^{2} para makuha ang 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Idagdag ang 208 sa parehong bahagi.

$$36x+12x^{2}=128+208$$

Idagdag ang 128 at 208 para makuha ang 336.

$$36x+12x^{2}=336$$

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+36x=336$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 12.

$$\frac{12x^{2}+36x}{12}=\frac{336}{12}$$

Kapag na-divide gamit ang 12, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 12.

$$x^{2}+\frac{36}{12}x=\frac{336}{12}$$

I-divide ang 36 gamit ang 12.

$$x^{2}+3x=\frac{336}{12}$$

I-divide ang 336 gamit ang 12.

$$x^{2}+3x=28$$

I-divide ang 3, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang \frac{3}{2}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng \frac{3}{2} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

I-square ang \frac{3}{2} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Idagdag ang 28 sa \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

I-factor ang x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Pasimplehin.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

I-subtract ang \frac{3}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=4 x=-7$$