Lutasin ang (sqrt{2}+sqrt{5})^2-(2+sqrt{10})^2+sqrt{90}+(2sqrt{2}-1)(2sqrt{2}+1)

$$( \sqrt { 2 } + \sqrt { 5 } ) ^ { 2 } - ( 2 + \sqrt { 10 } ) ^ { 2 } + \sqrt { 90 } + ( 2 \sqrt { 2 } - 1 ) ( 2 \sqrt { 2 } + 1 )$$

I-evaluate

$$\sqrt{10}\approx 3.16227766$$

Mga Hakbang ng Solution

Gamitin ang binomial theorem na \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para palawakin ang \left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{2}\right)^{2}+2\sqrt{2}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Ang square ng \sqrt{2} ay 2.

$$2+2\sqrt{2}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Para i-multiply ang \sqrt{2} at \sqrt{5}, i-multiply ang mga numero sa ilalim ng square root.

$$2+2\sqrt{10}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Ang square ng \sqrt{5} ay 5.

$$2+2\sqrt{10}+5-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Idagdag ang 2 at 5 para makuha ang 7.

$$7+2\sqrt{10}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Gamitin ang binomial theorem na \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para palawakin ang \left(2+\sqrt{10}\right)^{2}.

$$7+2\sqrt{10}-\left(4+4\sqrt{10}+\left(\sqrt{10}\right)^{2}\right)+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Ang square ng \sqrt{10} ay 10.

$$7+2\sqrt{10}-\left(4+4\sqrt{10}+10\right)+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Idagdag ang 4 at 10 para makuha ang 14.

$$7+2\sqrt{10}-\left(14+4\sqrt{10}\right)+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Para hanapin ang kabaligtaran ng 14+4\sqrt{10}, hanapin ang kabaligtaran ng bawat term.

$$7+2\sqrt{10}-14-4\sqrt{10}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

I-subtract ang 14 mula sa 7 para makuha ang -7.

$$-7+2\sqrt{10}-4\sqrt{10}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Pagsamahin ang 2\sqrt{10} at -4\sqrt{10} para makuha ang -2\sqrt{10}.

$$-7-2\sqrt{10}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

I-factor out ang 90=3^{2}\times 10. I-rewrite ang square root ng product na \sqrt{3^{2}\times 10} bilang product ng mga square root na \sqrt{3^{2}}\sqrt{10}. Kunin ang square root ng 3^{2}.

$$-7-2\sqrt{10}+3\sqrt{10}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Pagsamahin ang -2\sqrt{10} at 3\sqrt{10} para makuha ang \sqrt{10}.

$$-7+\sqrt{10}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Isaalang-alang ang \left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right). Maaaring ma-transform ang pag-multiply sa difference ng mga square gamit ang rule na: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. I-square ang 1.

$$-7+\sqrt{10}+\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-1$$

Palawakin ang \left(2\sqrt{2}\right)^{2}.

$$-7+\sqrt{10}+2^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1$$

Kalkulahin ang 2 sa power ng 2 at kunin ang 4.

$$-7+\sqrt{10}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1$$

Ang square ng \sqrt{2} ay 2.

$$-7+\sqrt{10}+4\times 2-1$$

I-multiply ang 4 at 2 para makuha ang 8.

$$-7+\sqrt{10}+8-1$$

I-subtract ang 1 mula sa 8 para makuha ang 7.

$$-7+\sqrt{10}+7$$

Idagdag ang -7 at 7 para makuha ang 0.

$$\sqrt{10}$$