Lutasin ang y^2-15y=-54

$${ y }^{ 2 } -15y=-54$$

I-solve ang y

$$y=6$$

$$y=9$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring

Idagdag ang 54 sa parehong bahagi.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Para i-solve ang equation, i-factor ang y^{2}-15y+54 gamit ang formula na y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-15 ab=54$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, parehong negative ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 54.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -15.

$$a=-9 b=-6$$

I-rewrite ang naka-factor na expression na \left(y+a\right)\left(y+b\right) gamit ang mga nakuhang value.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang y-9=0 at y-6=0.

$$y=9 y=6$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Idagdag ang 54 sa parehong bahagi.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang y^{2}+ay+by+54. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-15 ab=1\times 54=54$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, parehong negative ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 54.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -15.

$$a=-9 b=-6$$

I-rewrite ang y^{2}-15y+54 bilang \left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right).

$$\left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right)$$

I-factor out ang y sa unang grupo at ang -6 sa pangalawang grupo.

$$y\left(y-9\right)-6\left(y-9\right)$$

I-factor out ang common term na y-9 gamit ang distributive property.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang y-9=0 at y-6=0.

$$y=9 y=6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$y^{2}-15y=-54$$

Idagdag ang 54 sa magkabilang dulo ng equation.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=-54-\left(-54\right)$$

Kapag na-subtract ang -54 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=0$$

I-subtract ang -54 mula sa 0.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 1 para sa a, -15 para sa b, at 54 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 54}}{2}$$

I-square ang -15.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 54}}{2}$$

I-multiply ang -4 times 54.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-216}}{2}$$

Idagdag ang 225 sa -216.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Kunin ang square root ng 9.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±3}{2}$$

Ang kabaliktaran ng -15 ay 15.

$$y=\frac{15±3}{2}$$

Ngayon, lutasin ang equation na y=\frac{15±3}{2} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 15 sa 3.

$$y=\frac{18}{2}$$

I-divide ang 18 gamit ang 2.

$$y=9$$

Ngayon, lutasin ang equation na y=\frac{15±3}{2} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 3 mula sa 15.

$$y=\frac{12}{2}$$

I-divide ang 12 gamit ang 2.

$$y=6$$

Nalutas na ang equation.

$$y=9 y=6$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-15y=-54$$

I-divide ang -15, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{15}{2}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{15}{2} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$y^{2}-15y+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-54+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{15}{2} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=-54+\frac{225}{4}$$

Idagdag ang -54 sa \frac{225}{4}.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=\frac{9}{4}$$

I-factor ang y^{2}-15y+\frac{225}{4}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Pasimplehin.

$$y-\frac{15}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{15}{2}=-\frac{3}{2}$$

Idagdag ang \frac{15}{2} sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=9 y=6$$