Lutasin ang x^2-21x+104=0

$${ x }^{ 2 } -21x+104=0$$

I-solve ang x

$$x=8$$

$$x=13$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring

Para i-solve ang equation, i-factor ang x^{2}-21x+104 gamit ang formula na x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-21 ab=104$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, parehong negative ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 104.

$$-1,-104 -2,-52 -4,-26 -8,-13$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1-104=-105 -2-52=-54 -4-26=-30 -8-13=-21$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -21.

$$a=-13 b=-8$$

I-rewrite ang naka-factor na expression na \left(x+a\right)\left(x+b\right) gamit ang mga nakuhang value.

$$\left(x-13\right)\left(x-8\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang x-13=0 at x-8=0.

$$x=13 x=8$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang x^{2}+ax+bx+104. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-21 ab=1\times 104=104$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, parehong negative ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 104.

$$-1,-104 -2,-52 -4,-26 -8,-13$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1-104=-105 -2-52=-54 -4-26=-30 -8-13=-21$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -21.

$$a=-13 b=-8$$

I-rewrite ang x^{2}-21x+104 bilang \left(x^{2}-13x\right)+\left(-8x+104\right).

$$\left(x^{2}-13x\right)+\left(-8x+104\right)$$

I-factor out ang x sa unang grupo at ang -8 sa pangalawang grupo.

$$x\left(x-13\right)-8\left(x-13\right)$$

I-factor out ang common term na x-13 gamit ang distributive property.

$$\left(x-13\right)\left(x-8\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang x-13=0 at x-8=0.

$$x=13 x=8$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$x^{2}-21x+104=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 1 para sa a, -21 para sa b, at 104 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 104}}{2}$$

I-square ang -21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 104}}{2}$$

I-multiply ang -4 times 104.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-416}}{2}$$

Idagdag ang 441 sa -416.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{25}}{2}$$

Kunin ang square root ng 25.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±5}{2}$$

Ang kabaliktaran ng -21 ay 21.

$$x=\frac{21±5}{2}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{21±5}{2} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 21 sa 5.

$$x=\frac{26}{2}$$

I-divide ang 26 gamit ang 2.

$$x=13$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{21±5}{2} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 5 mula sa 21.

$$x=\frac{16}{2}$$

I-divide ang 16 gamit ang 2.

$$x=8$$

Nalutas na ang equation.

$$x=13 x=8$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-21x+104=0$$

I-subtract ang 104 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x^{2}-21x+104-104=-104$$

Kapag na-subtract ang 104 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$x^{2}-21x=-104$$

I-divide ang -21, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{21}{2}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{21}{2} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-21x+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=-104+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{21}{2} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=-104+\frac{441}{4}$$

Idagdag ang -104 sa \frac{441}{4}.

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=\frac{25}{4}$$

I-factor ang x^{2}-21x+\frac{441}{4}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Pasimplehin.

$$x-\frac{21}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{21}{2}=-\frac{5}{2}$$

Idagdag ang \frac{21}{2} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=13 x=8$$