Lutasin ang t^2-109t+900=0

$${ t }^{ 2 } -109t+900 = 0$$

I-solve ang t

$$t=9$$

$$t=100$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring

Para i-solve ang equation, i-factor ang t^{2}-109t+900 gamit ang formula na t^{2}+\left(a+b\right)t+ab=\left(t+a\right)\left(t+b\right). Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-109 ab=900$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, parehong negative ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 900.

$$-1,-900 -2,-450 -3,-300 -4,-225 -5,-180 -6,-150 -9,-100 -10,-90 -12,-75 -15,-60 -18,-50 -20,-45 -25,-36 -30,-30$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1-900=-901 -2-450=-452 -3-300=-303 -4-225=-229 -5-180=-185 -6-150=-156 -9-100=-109 -10-90=-100 -12-75=-87 -15-60=-75 -18-50=-68 -20-45=-65 -25-36=-61 -30-30=-60$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -109.

$$a=-100 b=-9$$

I-rewrite ang naka-factor na expression na \left(t+a\right)\left(t+b\right) gamit ang mga nakuhang value.

$$\left(t-100\right)\left(t-9\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang t-100=0 at t-9=0.

$$t=100 t=9$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang t^{2}+at+bt+900. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-109 ab=1\times 900=900$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, parehong negative ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 900.

$$-1,-900 -2,-450 -3,-300 -4,-225 -5,-180 -6,-150 -9,-100 -10,-90 -12,-75 -15,-60 -18,-50 -20,-45 -25,-36 -30,-30$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1-900=-901 -2-450=-452 -3-300=-303 -4-225=-229 -5-180=-185 -6-150=-156 -9-100=-109 -10-90=-100 -12-75=-87 -15-60=-75 -18-50=-68 -20-45=-65 -25-36=-61 -30-30=-60$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -109.

$$a=-100 b=-9$$

I-rewrite ang t^{2}-109t+900 bilang \left(t^{2}-100t\right)+\left(-9t+900\right).

$$\left(t^{2}-100t\right)+\left(-9t+900\right)$$

I-factor out ang t sa unang grupo at ang -9 sa pangalawang grupo.

$$t\left(t-100\right)-9\left(t-100\right)$$

I-factor out ang common term na t-100 gamit ang distributive property.

$$\left(t-100\right)\left(t-9\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang t-100=0 at t-9=0.

$$t=100 t=9$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$t^{2}-109t+900=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 1 para sa a, -109 para sa b, at 900 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-109\right)±\sqrt{\left(-109\right)^{2}-4\times 900}}{2}$$

I-square ang -109.

$$t=\frac{-\left(-109\right)±\sqrt{11881-4\times 900}}{2}$$

I-multiply ang -4 times 900.

$$t=\frac{-\left(-109\right)±\sqrt{11881-3600}}{2}$$

Idagdag ang 11881 sa -3600.

$$t=\frac{-\left(-109\right)±\sqrt{8281}}{2}$$

Kunin ang square root ng 8281.

$$t=\frac{-\left(-109\right)±91}{2}$$

Ang kabaliktaran ng -109 ay 109.

$$t=\frac{109±91}{2}$$

Ngayon, lutasin ang equation na t=\frac{109±91}{2} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 109 sa 91.

$$t=\frac{200}{2}$$

I-divide ang 200 gamit ang 2.

$$t=100$$

Ngayon, lutasin ang equation na t=\frac{109±91}{2} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 91 mula sa 109.

$$t=\frac{18}{2}$$

I-divide ang 18 gamit ang 2.

$$t=9$$

Nalutas na ang equation.

$$t=100 t=9$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$t^{2}-109t+900=0$$

I-subtract ang 900 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$t^{2}-109t+900-900=-900$$

Kapag na-subtract ang 900 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$t^{2}-109t=-900$$

I-divide ang -109, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{109}{2}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{109}{2} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$t^{2}-109t+\left(-\frac{109}{2}\right)^{2}=-900+\left(-\frac{109}{2}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{109}{2} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$t^{2}-109t+\frac{11881}{4}=-900+\frac{11881}{4}$$

Idagdag ang -900 sa \frac{11881}{4}.

$$t^{2}-109t+\frac{11881}{4}=\frac{8281}{4}$$

I-factor ang t^{2}-109t+\frac{11881}{4}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{109}{2}\right)^{2}=\frac{8281}{4}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(t-\frac{109}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{8281}{4}}$$

Pasimplehin.

$$t-\frac{109}{2}=\frac{91}{2} t-\frac{109}{2}=-\frac{91}{2}$$

Idagdag ang \frac{109}{2} sa magkabilang dulo ng equation.

$$t=100 t=9$$