Derivaatta tarkoittaa matematiikassa reaaliarvoja saavan funktion herkkyyttä muutokselle yhden sen riippumattoman muuttujan suhteen. Derivaatta on matemaattisen analyysin peruskäsitteitä. Se johdetaan funktion tietyn välin keskimääräisestä muutosnopeudesta, jonka arvosta määritetään raja-arvon avulla muutosnopeus yhdessä kohtaa. Sanaa derivaatta käytetään suomessa sekä funktion derivaatan arvon että sen derivaattafunktion synonyyminä. Jos rajoitutaan yhden muuttujan funktioihin, voidaan muutosnopeuden keskiarvoa kuvata funktion kuvaajan keskimääräiseksi jyrkkyydeksi. Sitä havainnollistetaan esimerkiksi Suomen lukioiden matematiikan oppimäärissä kuvaajan sekantilla, jonka kulmakerroin on kyseisellä välillä funktion jyrkkyyksien likiarvo. Mitä pienempi on sekantin rajaama väli, sitä paremmin sen jyrkkyys vastaa funktion kuvaajan jyrkkyyksiä kyseisellä välillä. Lopulta, kun väliä pienennetään raja-arvon avulla pisteeksi, saadaan derivaatta. Sitä havainnollistetaan yleensä tangentilla, jonka kulmakerroin on derivaatan arvon suuruinen. Yhden muuttujan derivaatta voidaan yleistää usean muuttujan funktioille, jossa sitä kutsutaan funktion differentiaaliksi, mutta termiä differentiaali voidaan käyttää myös yhden muuttujan funktioille. Differentiaali on funktion kokonaismuutoksen lineaarinen osa, joka esitetään usean muuttujan funktioiden tapauksessa Jacobin matriisin avulla. Yhden reaalimuuttujan funktion displaystylef(x) derivaatan displaystylefʼ(x) formaalinen määritelmä käyttää aina hyväkseen sen muutosnopeuden raja-arvoa. Seuraavassa funktion muutosnopeutta ilmaistaan sen erotusosamäärällä käyttäen valitun välin päätepisteitä displaystylex₀ ja displaystyle x displaystylefractextfunktion f arvon muutostextmuuttujan x arvon muutos=fracDelta fDelta x=fracf(x)-f(x₀)x-x₀. Merkinnällä displaystyle Delta a tarkoitetaan suureen displaystyle a arvojen muutosta tai erotusta displaystylea₁-a₂. Välin displaystyle[x₀,x] jälkimmäistä päätepistettä displaystyle x siirretään lähemmäksi välin ensimmäistä päätepistettä displaystylex₀. Tämä merkitään raja-arvon arvolla displaystylelimₓₜₒₓ₀fracf(x)-f(x₀)x-x₀. Tällöin voidaan sanoa (jos raja-arvo on olemassa), että funktiolla displaystylef(x) on derivaatan arvo kohdassa displaystylex₀, joka merkitään tavallisesti displaystylefʼ(x₀). Toisessa yleisessä määritelmässä erotusosamäärä muodostetaan pisteiden displaystylex₀ ja displaystylex=x₀+h avulla, missä luku displaystyleh=x-x₀ on pisteiden välinen etäisyys. Sijoittamalla tämä erotusosamäärään saadaan displaystylefracDelta fDelta x=fracf(x₀+h)-f(x₀)(x₀+h)-x₀=fracf(x₀+h)-f(x₀)h. Nyt väliä displaystyle[x₀,x]=[x₀,x₀+h] voidaan raja-arvossa pienentää pienentämällä lukua displaystyle h, jolloin saadaan (mikäli raja-arvo on olemassa) derivaatan arvo pisteessä displaystylex₀ displaystylefʼ(x₀)=limₕₜₒ₀fracf(x₀+h)-f(x₀)h. Derivaattafunktion avulla saadaan selville sellaiset kohdat, joissa alkuperäinen funktio mahdollisesti muuttaa kulkusuuntaansa. Näissä kohdissa derivaattafunktion arvo on nolla. Derivaattafunktion merkki - ja funktion kulkusuunta - voi vaihtua vain derivaatan nollakohdassa. Mikäli tällaisia kohtia ei ole, on funktio aidosti kasvava tai aidosti vähenevä. Esimerkiksi kolmannen asteen funktio displaystylex³+x²-5x derivoituu sääntöjen mukaisesti muotoon displaystyle3x²+2x-5. Laskemalla derivaattafunktion nollakohdat, jotka ovat displaystylex=-5/3 ja displaystylex=1 saadaan selville kohdat joissa alkuperäinen funktio todennäköisesti vaihtaa kulkusuuntaansa. Lasketaan derivaatan arvo kunkin nollakohdan kummallakin puolella, esimerkiksi pisteissä -2, 0 ja 2. Jos saatu arvo on negatiivinen, on funktion kuvaaja laskeva, jos positiivinen, on funktion kuvaaja nouseva. Mikäli funktion kulkua tarkasteltaisiin suljetulla välillä displaystyle[-3,2], huomattaisiin, että funktio saisi suurimman ja pienimmän arvonsa kyseisissä derivaatan nollakohdissa. Nämä kohdat displaystylex=-5/3 ja displaystylex=1 ovat funktion paikallisia maksimi- ja minimikohtia. Funktiolla ei kuitenkaan ole suurinta tai pienintä arvoa, kun tarkasteluvälinä on koko reaaliakseli, koska sen arvojoukko on negatiivisesta äärettömyydestä positiiviseen äärettömyyteen. Derivaatta on olemassa pisteessä displaystylex₀, mikäli erotusosamäärän raja-arvo on äärellinen ja se voidaan määrittää yksikäsitteisesti. Käyttämällä hyväksi toispuoleisen derivaatan käsitteitä, voidaan derivaatan olemassaolo ilmaista niin, että sekä vasemmanpuoleisen että oikeanpuoleisen derivaatan tulee olla olemassa ja niiden arvojen tulisi olla yhtä suuret. Vaikeasti käyttäytyvillä funktioilla ei riitä erotusosamäärän raja-arvon intuitiivinen sievennys, vaan tarvitaan täsmällisempi matemaattinen määritelmä. Sellainen on esimerkiksi displaystyleforallepsilon>0,existsdelta>0:|x-x₀|<deltaRightarrowleft|f(x)-f(x₀)overx-x₀-fʼ(x₀)right|<epsilon,. Toisin sanoen kaikille ehdotetuille luvuille displaystyleepsilon>0, löytyy siitä riippuva luku displaystyledelta>0, siten, että erotusosamäärän arvot ovat alle displaystyleepsilon,:in päässä raja-arvosta eli derivaatan arvosta, kun muuttujan arvot ovat alle displaystyledelta,:n päässä lähestyttävästä arvosta. Mikäli aina lukua displaystyleepsilon, pienennettäessä, löytyy edellistä pienempi displaystyledelta,, voidaan pitää osoitettuna, että raja-arvo tulee löytymään. Derivaattafunktio tarkoittaa sellaista lauseketta, jolla voi laskea funktion derivaatan arvon kyseisessä kohdassa ilman raja-arvon määritystä. Tällaisen funktion määrittämistä kutsutaan derivoimiseksi. Derivointifunktiota kutsutaan yleisesti myös derivaataksi. Derivaattafunktion määrittelyjoukko voi olla sama kuin funktion määrittelyjoukko, mutta toisinaan se on suppeampi väli. Määritetään funktion displaystylef(x) derivaattafunktio missä funktion määrittelyjoukon pisteessä displaystyle x hyvänsä. Niissä pisteissä, missä raja-arvo on määritelty, saadaan derivaattafunktioksi displaystylefʼ(x) (käytetään toista määritelmää) displaystylefʼ(x)=limₕₜₒ₀fracf(x+h)-f(x)h. Tämän derivaattafunktion määrittelyjoukko saadaan, kun raja-arvon kannalta määrittelemättömät kohdat jätetään funktion määrittelyjoukosta pois. Esimerkiksi funktion displaystylef(x)=x² derivaattafunktio määritetään seuraavasti. Merkitään lausekkeet erotusosamäärään ja määritetään raja-arvo: displaystylefʼ(x)=limₕₜₒ₀frac(x+h)²-x²h=limₕₜₒ₀frac(x²+2hx+h²)-x²h=limₕₜₒ₀frac2hx+h²h=limₕₜₒ₀(2x+h)=2x+0=2x. Lausekkeella displaystylefʼ(x)=2x voi helposti laskea funktion displaystylef(x)=x² derivaatan arvoja ilman, että raja-arvoa tarvitsee enää määrittää. Tilanteita, jossa derivaatan arvoa ei voi funktion määrittelyalueelta määrittää, liittyvät esimerkiksi funktion liian suureen jyrkkyyteen. Silloin funktion kuvaajalle piirretty tangentti on pystysuora, jolle ei ole määritelty kulmakerrointa. Jos derivaatta voidaan määrittä kaikissa muissa funktion määrittelyjoukon kohdissa, muodostuu tästä derivaattafunktion määrittelyjoukko. Laajin väli, missä derivaatta on mielekästä määrittää, on funktion oma määrittelyjoukko. Operaattoria, jolla funktion derivoinnin aikomus ilmaistaan, merkitään derivaatta-operaattorilla. Suomenkin lukiokoulutuksessa on yleisesti käytössä iso D-kirjain. Edellisen esimerkin derivointia merkitään sillä displaystyleDx²=2x. Toinen yleinen merkintä "pilkku"-merkintä, jossa funktion derivaattafunktiota merkitään displaystylefʼ=fʼ(x),. Tässä Leonhard Eulerin ja Louis Langrangen mukaan nimetyssä nk. Euler-Lagrange-merkintätavassa oletetaan, että lukija tuntee muuttujan, jonka suhteen derivointi suoritetaan. Tämän vuoksi sitä käytetään pääasiassa yhden muuttujan derivoinnissa, ja sekin on siten yleinen esimerkiksi suomalaisessa koulumatematiikassa. Mikäli muuttujana on aika, kuten fysiikassa on yleistä, käytetään "piste"-merkintää displaystyledotf=dotf(t),. Useamman muuttujan funktioissa voidaan suorittaa derivointi yhdelle muuttujalle, joka tulee ilmoittaa lukijalle alaindeksinä tai uudella merkinnällä displaystyleDₓf=fracdfdx,. Merkinnät displaystyle df ja displaystyle dx tarkoittavat suureiden displaystylef, ja displaystylex, differenssejä ja nimittäjästä displaystyle dx voidaan päätellä, minkä muuttujan suhteen derivointi suoritetaan. Derivaatan arvo jossakin kohdassa displaystylea, merkitään vastaavasti displaystylefʼ(a),, displaystyleDf(a),, displaystyleleft(fracdfdxright)ₓ₌ₐ tai displaystyledotf(a),. Kun funktion displaystylef,:n derivaattafunktio on myös derivoituva, voidaan funktiota displaystylef, kutsutaan kahdesti derivoituvaksi. Kahdesti derivoitu funktio eli toinen derivaatta määritetään displaystylefʼʼ(x)=limₕₜₒ₀fracfʼ(x+h)-fʼ(x)h ja merkitään displaystylefʼʼ,, displaystyleD²f(x), tai displaystylefracd²fdx². Derivaattafunktioiden derivaattoja tarvitaan monissa sovelluksissa. Silloin voidaan yleistää, että jos displaystylef,:n displaystyle(n-1),:s derivaattafunktio on derivoituva, niin funktio on displaystylen, kertaa derivoituva, ja sen displaystylen,:ttä derivaattaa merkitään displaystylef⁽ⁿ⁾,, displaystyleDⁿf(x), tai displaystylefracdⁿfdxⁿ,. Jos funktion (displaystylen,:s) derivaatta on olemassa ja jatkuva, niin funktion sanotaan olevan (displaystylen, kertaa) jatkuvasti derivoituva. Mikäli funktion displaystylen,:s derivaattafunktio on olemassa ja jatkuva, sanotaan, että funktio on displaystyleCⁿ,-funktio. Jos funktio on äärettömän monta kertaa derivoituva ja sen jokainen derivaattafunktio on jatkuva, niin funktion sanotaan olevan displaystyleCⁱⁿᶠᵗʸ,-funktio. Seuraavassa luettelossa on eräiden alkeisfunktioiden derivaattojen muistikaavoja. Siinä ei oteta kantaa funktion ja derivaatan määrittelyjoukkoihin. Siinä tapauksessa, että eksponentti n on positiivinen kokonaisluku tai nolla, potenssin x derivaattafunktio voidaan määrittää derivaatan määritelmän mukaan displaystyleDf(x)=limₕₜₒ₀fracf(x+h)-f(x)h,, jolloin potenssifunktiolle saadaan displaystyleDxⁿ=limₕₜₒ₀frac(x+h)ⁿ-xⁿh,. Koska displaystyle(x+h)ⁿ=a₀xⁿ+a₁hxⁿ⁻¹+a₂h²xⁿ⁻²+a₃h³xⁿ⁻³+...+aₙ₋₁hⁿ⁻¹x+hⁿ,, missä displaystyleaᵢ vastaa kunkin termin binomikerrointa (erityisesti displaystylea₀=1, ja displaystylea₁=n,), voidaan erotusosamäärä kirjoittaa displaystyleDxⁿ=limₕₜₒ₀frac(cancelxⁿ+nhxⁿ⁻¹+a₂h²xⁿ⁻²+a₃h³xⁿ⁻³+...+aₙ₋₁hⁿ⁻¹x+hⁿ)-cancelxⁿh, displaystyle=limₕₜₒ₀(nxⁿ⁻¹+a₂hxⁿ⁻²+a₃h²xⁿ⁻³+...+aₙ₋₁hⁿ⁻²x+hⁿ⁻¹), displaystyle=nxⁿ⁻¹+0+0+...+0+0, displaystyle=nxⁿ⁻¹,. Tämän todistuksen ja summaussäännön perusteella voidaan helposti todistaa polynomifunktion displaystylesumₖ₌₀ⁿaₖxᵏ derivaatta. Edellä sääntö displaystyleDxᵃ=axᵃ⁻¹ on todistettu siinä tapauksessa, että eksponentti a on positiivinen kokonaisluku. Voidaan kuitenkin osoittaa, että sama tulos pätee, olipa a mikä reaaliluku tahansa. Ensinnäkin jos eksponentti k = -n on negatiivinen kokonaisluku, on määritelmän mukaan displaystylexᵏ=x⁻ⁿ=frac1xⁿ. Osamäärän derivoimissääntö yksinkertaistuu tässä tapauksessa muotoon displaystyleDxᵏ=Dx⁻ⁿ=-nx⁻ⁿ⁻¹=kxᵏ⁻¹ Näin voidaan todeta, että sääntö displaystyleDxᵏ=kxᵏ⁻¹ pätee myös eksponentin negatiivisilla kokonaislukuarvoilla. Eksponentti- ja logaritmifunktioiden derivaattojen lausekkeista displaystyleDeˣ=eˣ ja displaystyledlnx=frac1x sekä yhdistetyn funktion derivoimissäännöstä seuraa edelleen, että olipa a mikä reaaliluku tahansa, on aina displaystyleDxᵃ=Deᵃˡⁿˣ=eᵃˡⁿˣcdotD(alnx)=xᵃcdotacdotfrac1x=axᵃ⁻¹. Mikäli funktio on alkeisfunktioiden yhdistelmä, kuten niiden summa, erotus, tulo, osamäärä tai yhdistelmä, voidaan niitä derivoida seuraavien sääntöjen puitteissa. Vakiofunktion displaystylef(x)=c derivointi voidaan suorittaa määritelmän kautta seuraavasti: displaystyleDc=limₕₜₒ₀fracf(x+h)-f(x)h=limₕₜₒ₀fracc-ch=0. Jos merkitään kompleksilukujen muuttujia displaystylez=x+iy, ja tietyssä alueessa G (sisältää luvun displaystylez₀) määriteltyä kompleksifunktiota displaystylef(z)=u(x,y)+iv(x,y), pystytään joskus määrittämään funktion displaystylef(z) derivaatta. Derivaatta on olemassa, mikäli displaystylef(z) toteuttaa Cauchyn–Riemannin yhtälöt ja sen osittaisderivaatat ovat pisteen displaystylez₀ ympäristössä G jatkuvat. Tällaisia kompleksifunktioita kutsutaan holomorfisiksi funktioiksi. Silloin raja-arvo displaystylefʼ(z₀)=limzₜₒz₀fracf(z)-f(z₀)z-z₀ voidaan määrittää yksikäsitteisesti. Esimerkiksi toisen asteen kompleksifunktio voidaan kirjoittaa auki displaystylef(z)=z²=(x+iy)²=x²+xiy+iyx-y²=(x²-y²)+i(2xy)=u(x,y)+iv(x,y). Derivaatan olemassaolo voidaan todeta muodostamalla funktion reaali- ja imaginaariosien osittaisderivaatat displaystyleuₓ(x,y)=partialu(x,y)over partial x=partial(x²-y²)over partial x=2x-0=2x, displaystylevy(x,y)=partialv(x,y)over partial y=partial(2xy)over partial y=2xcdot1=2x, displaystyleuy(x,y)=partialu(x,y)over partial y=partial(x²-y²)over partial y=0-2y=-2y ja displaystylevₓ(x,y)=partialv(x,y)over partial x=partial(2xy)over partial x=2cdot1cdoty=2y. Koska saadut osittaisderivaatat ovat polynomeina jatkuvia ja ne toteuttavat Cauchyn–Riemannin yhtälöt displaystyleuₓ(x,y)=vy(x,y) ja displaystyleuy(x,y)=-vₓ(x,y), on funktio displaystylef(z)=z² derivoituva. Kompleksisten alkeisfunktioiden derivointisäännöt ja yleiset derivointisäännöt säilyvät samanlaisina kuin reaalimuuttujaisilla alkeisfunktioilla. Yhden muuttujan funktion derivointi voidaan yleistää vektoriarvoisen muuttujan vektoriarvoiseen funktion derivaattaan. Vektorilla voidaan esittää useamman muuttujan funktion määrittelyjoukkoa. Funktion kuvaus on tällöin displaystylef:mathbbRⁿtomathbbR. Vektoreissa voidaan käyttää myös kompleksimuuttujia. Derivaatta määritellään tällaisilla funktioilla luonnollisella tavalla. Reaaliarvoisille usean muuttujan funktiolle voidaan määritellä osittaisderivaatta, joka on tavallinen derivaatta yhden muuttujansa suhteen. Osittaisderivoitaessa yhtä muuttujaa, muita muuttujia kohdellaan kuin vakioita. Sitä käytetään, kun halutaan tietää yhden muuttujan muutoksen vaikutus funktion arvoihin. Reaaliarvoisille usean muuttujan funktiolle voidaan määritellä suunnattu derivaatta, joka on tavallinen derivaatta yhdessä pisteessä halutussa suunnassa. Kussakin määrittelyjoukon pisteessä voidaan funktiolle määrittää suunnattu derivaatta äärettömän moneen eri suuntaan. Erisuuntaiset derivaatat ovat arvoltaan usein erisuuruisia. Ne voidaan laskea kätevästi käyttäen gradienttia. Sunnatulla derivaatalle voidaan määrittää myös toispuoleinen derivaatta. Derivointi on hyödyllinen matemaattinen apuneuvo myös teknisissä tieteissä. Seuraavassa yksinkertainen esimerkki derivaatan käytöstä fysiikassa. Oletetaan, että halutaan selvittää vaikkapa putoamiskiihtyvyys displaystyleg,, kun mitataan putoavan pallon putoama matka displaystyles, ajan displaystylet, funktiona. Tiedetään, että matka voidaan ilmaista displaystyles=s₀+frac12gt²,, ja nopeus displaystylev, on matkan derivaatta ajan suhteen displaystylev=fracdsdt=fracddtleft(s₀+frac12gt²right)=frac12g2t=gt, mistä edelleen putoamiskiihtyvyys displaystyleg, on nopeuden derivaatta ajan suhteen. Toisin sanoen siis matkan toinen derivaatta: displaystylefracd²sdt=fracdvdt=fracddtleft(gtright)=g. Kun mitattu etäisyys derivoidaan ajan suhteen numeerisesti, saadaan putoamiskiihtyvyys. Ajan suhteen derivoitaessa saatetaan joskus myös käyttää derivaatan merkkinä pistettä derivoitavan suureen päällä displaystylefracdxdt=dotx ja displaystylefracd²xdt=ddotx. Aluksi tutkittiin suureiden muuttumista kun muuttujien arvoa muutettiin. Suureen muutosnopeuden arvo riippui käytettävästä muuttujan arvon muutossuuruudesta ja se saatiin sitä paremmaksi, mitä pienempi oli muuttujan muutosväli. Käyttöön otettiin infinitesimaalin käsite. Se vastasi ”pienintä mahdollista muutosta” suureen arvossa. Derivaatta määritettiin siksi funktion arvon muutosnopeudeksi, kun muuttuja muuttui vain infinitesimaalisen vähän. Infinitesimaalit on 1900-luvulta asti korvattu raja-arvon käsitteellä, jossa muutosnopeuden keskiarvo on annetulla välillä korvattu erotusosamäärällä. Kun annettua väliä pienennetään rajatta, saadaan derivaatan arvo erotusosamäärän raja-arvona. 1960-luvulta alkaen Abraham Robinson ja Jerome Keisler kuitenkin todistivat, että myös infinitesimaaleihin pohjaava differentiaalilaskenta voidaan määritellä tarkasti. Derivaatan käsitteen esittivät ensimmäisenä Isaac Newton ja Gottfried Leibniz 1600-luvulla. Sanan derivaatta otti käyttöön Joseph-Louis Lagrange 1700-luvun lopulla. Osittaisderivaatta Integraalifunktio Jatkuva funktio Gradientti Alatupa, Sami & Hassinen, Sanna & Hemmo, Katariina & Leikas, Mika: Pitkä Sigma 7. Helsinki: Sanoma Pro, 2014. ISBN 978-952-63-0307-9 Hurri-Syrjänen, Ritva: Differentiaali- ja integraalilaskenta I,, Helsingin yliopisto, 1999 Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6. Matematiikan etäopiskeluympäristö, Derivaatta. Opetus.tv. ”Newton, Leibniz, and Usain Bolt”. Khan Academy. ”Derivative”. MathWorld.