Lutasin ang sin(θ)

$$\sin ( \theta )$$

I-differentiate ang w.r.t. θ

$$\cos(\theta )$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Definition of a Derivative

Para sa isang function na f\left(x\right), ang derivative ay ang limitasyon ng \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} habang tumutungo ang h sa 0, kung may ganoon ngang limitasyon.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }(\sin(\theta ))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(\theta +h)-\sin(\theta )}{h}\right)$$

Gamitin ang Sum Formula for Sine.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h+\theta )-\sin(\theta )}{h}$$

I-factor out ang \sin(\theta ).

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(\theta )\left(\cos(h)-1\right)+\cos(\theta )\sin(h)}{h}$$

Isulat ulit ang limitasyon.

$$\left(\lim_{h\to 0}\sin(\theta )\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(\theta )\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Gamitin ang fact na ang \theta ay isang constant kapag kino-compute ang mga limitasyon dahil ang h ay napupunta sa 0.

$$\sin(\theta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(\theta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Ang limitasyong \lim_{\theta \to 0}\frac{\sin(\theta )}{\theta } ay 1.

$$\sin(\theta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(\theta )$$

Para i-evaluate ang limitasyong \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}, i-multiply muna ang numerator at denominator gamit ang \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

I-multiply ang \cos(h)+1 times \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Gamitin ang Pythagorean Identity.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Isulat ulit ang limitasyon.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Ang limitasyong \lim_{\theta \to 0}\frac{\sin(\theta )}{\theta } ay 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Gamitin ang fact na ang \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} ay tuluy-tuloy sa 0.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

I-substitute ang value na 0 sa expression na \sin(\theta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(\theta ).

$$\cos(\theta )$$

I-evaluate

$$\sin(\theta )$$