Lutasin ang {l}{10x+2y=-78}{-3x-2y=-29}

$$\left.\begin{array} { l } { 10 x + 2 y = - 78 } \\ { - 3 x - 2 y = - 29 } \end{array} \right\}$$

I-solve ang x, y

$$x = -\frac{107}{7} = -15\frac{2}{7} \approx -15.285714286$$

$$y = \frac{262}{7} = 37\frac{3}{7} \approx 37.428571429$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$10x+2y=-78,-3x-2y=-29$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$10x+2y=-78$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$10x=-2y-78$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(-2y-78\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{10} times -2y-78.

$$x=-\frac{1}{5}y-\frac{39}{5}$$

I-substitute ang \frac{-y-39}{5} para sa x sa kabilang equation na -3x-2y=-29.

$$-3\left(-\frac{1}{5}y-\frac{39}{5}\right)-2y=-29$$

I-multiply ang -3 times \frac{-y-39}{5}.

$$\frac{3}{5}y+\frac{117}{5}-2y=-29$$

Idagdag ang \frac{3y}{5} sa -2y.

$$-\frac{7}{5}y+\frac{117}{5}=-29$$

I-subtract ang \frac{117}{5} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{7}{5}y=-\frac{262}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{7}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{262}{7}$$

I-substitute ang \frac{262}{7} para sa y sa x=-\frac{1}{5}y-\frac{39}{5}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{262}{7}-\frac{39}{5}$$

I-multiply ang -\frac{1}{5} times \frac{262}{7} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{262}{35}-\frac{39}{5}$$

Idagdag ang -\frac{39}{5} sa -\frac{262}{35} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{107}{7}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{107}{7},y=\frac{262}{7}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$10x+2y=-78,-3x-2y=-29$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{10\left(-2\right)-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{10\left(-2\right)-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{10\left(-2\right)-2\left(-3\right)}&\frac{10}{10\left(-2\right)-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{3}{14}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-78\right)+\frac{1}{7}\left(-29\right)\\-\frac{3}{14}\left(-78\right)-\frac{5}{7}\left(-29\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{107}{7}\\\frac{262}{7}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{107}{7},y=\frac{262}{7}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$10x+2y=-78,-3x-2y=-29$$

Para gawing magkatumbas ang 10x at -3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 10.

$$-3\times 10x-3\times 2y=-3\left(-78\right),10\left(-3\right)x+10\left(-2\right)y=10\left(-29\right)$$

Pasimplehin.

$$-30x-6y=234,-30x-20y=-290$$

I-subtract ang -30x-20y=-290 mula sa -30x-6y=234 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-30x+30x-6y+20y=234+290$$

Idagdag ang -30x sa 30x. Naka-cancel out ang term na -30x at 30x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-6y+20y=234+290$$

Idagdag ang -6y sa 20y.

$$14y=234+290$$

Idagdag ang 234 sa 290.

$$14y=524$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 14.

$$y=\frac{262}{7}$$

I-substitute ang \frac{262}{7} para sa y sa -3x-2y=-29. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-3x-2\times \frac{262}{7}=-29$$

I-multiply ang -2 times \frac{262}{7}.

$$-3x-\frac{524}{7}=-29$$

Idagdag ang \frac{524}{7} sa magkabilang dulo ng equation.

$$-3x=\frac{321}{7}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$x=-\frac{107}{7}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{107}{7},y=\frac{262}{7}$$