Lutasin ang {l}{y=3x-13}{4x-3y=19}

$$\left. \begin{array}{l}{ y = 3 x - 13 }\\{ 4 x - 3 y = 19 }\end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x=4$$

$$y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 3x mula sa magkabilang dulo.

$$y-3x=-13$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$y-3x=-13,-3y+4x=19$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$y-3x=-13$$

Idagdag ang 3x sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=3x-13$$

I-substitute ang 3x-13 para sa y sa kabilang equation na -3y+4x=19.

$$-3\left(3x-13\right)+4x=19$$

I-multiply ang -3 times 3x-13.

$$-9x+39+4x=19$$

Idagdag ang -9x sa 4x.

$$-5x+39=19$$

I-subtract ang 39 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-5x=-20$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -5.

$$x=4$$

I-substitute ang 4 para sa x sa y=3x-13. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=3\times 4-13$$

I-multiply ang 3 times 4.

$$y=12-13$$

Idagdag ang -13 sa 12.

$$y=-1$$

Nalutas na ang system.

$$y=-1,x=4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 3x mula sa magkabilang dulo.

$$y-3x=-13$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$y-3x=-13,-3y+4x=19$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-13\\19\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-3\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\19\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\19\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\19\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-3\left(-3\right)\right)}&-\frac{-3}{4-\left(-3\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{4-\left(-3\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{4-\left(-3\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\19\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5}&-\frac{3}{5}\\-\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\19\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5}\left(-13\right)-\frac{3}{5}\times 19\\-\frac{3}{5}\left(-13\right)-\frac{1}{5}\times 19\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=-1,x=4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 3x mula sa magkabilang dulo.

$$y-3x=-13$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$y-3x=-13,-3y+4x=19$$

Para gawing magkatumbas ang y at -3y, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$-3y-3\left(-3\right)x=-3\left(-13\right),-3y+4x=19$$

Pasimplehin.

$$-3y+9x=39,-3y+4x=19$$

I-subtract ang -3y+4x=19 mula sa -3y+9x=39 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-3y+3y+9x-4x=39-19$$

Idagdag ang -3y sa 3y. Naka-cancel out ang term na -3y at 3y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$9x-4x=39-19$$

Idagdag ang 9x sa -4x.

$$5x=39-19$$

Idagdag ang 39 sa -19.

$$5x=20$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=4$$

I-substitute ang 4 para sa x sa -3y+4x=19. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$-3y+4\times 4=19$$

I-multiply ang 4 times 4.

$$-3y+16=19$$

I-subtract ang 16 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-3y=3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$y=-1$$

Nalutas na ang system.

$$y=-1,x=4$$