Lutasin ang {l}{x+2y=3(1+y)+1}{8-y=2(1-y)+3x}

$$\left. \begin{array}{l}{ x + 2 y = 3 ( 1 + y ) + 1 }\\{ 8 - y = 2 ( 1 - y ) + 3 x }\end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=1$$

$$y=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang 1+y.

$$x+2y=3+3y+1$$

Idagdag ang 3 at 1 para makuha ang 4.

$$x+2y=4+3y$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo.

$$x+2y-3y=4$$

Pagsamahin ang 2y at -3y para makuha ang -y.

$$x-y=4$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang 1-y.

$$8-y=2-2y+3x$$

Idagdag ang 2y sa parehong bahagi.

$$8-y+2y=2+3x$$

Pagsamahin ang -y at 2y para makuha ang y.

$$8+y=2+3x$$

I-subtract ang 3x mula sa magkabilang dulo.

$$8+y-3x=2$$

I-subtract ang 8 mula sa magkabilang dulo.

$$y-3x=2-8$$

I-subtract ang 8 mula sa 2 para makuha ang -6.

$$y-3x=-6$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x-y=4$$

Idagdag ang y sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=y+4$$

I-substitute ang y+4 para sa x sa kabilang equation na -3x+y=-6.

$$-3\left(y+4\right)+y=-6$$

I-multiply ang -3 times y+4.

$$-3y-12+y=-6$$

Idagdag ang -3y sa y.

$$-2y-12=-6$$

Idagdag ang 12 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-2y=6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$y=-3$$

I-substitute ang -3 para sa y sa x=y+4. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-3+4$$

Idagdag ang 4 sa -3.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang 1+y.

$$x+2y=3+3y+1$$

Idagdag ang 3 at 1 para makuha ang 4.

$$x+2y=4+3y$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo.

$$x+2y-3y=4$$

Pagsamahin ang 2y at -3y para makuha ang -y.

$$x-y=4$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang 1-y.

$$8-y=2-2y+3x$$

Idagdag ang 2y sa parehong bahagi.

$$8-y+2y=2+3x$$

Pagsamahin ang -y at 2y para makuha ang y.

$$8+y=2+3x$$

I-subtract ang 3x mula sa magkabilang dulo.

$$8+y-3x=2$$

I-subtract ang 8 mula sa magkabilang dulo.

$$y-3x=2-8$$

I-subtract ang 8 mula sa 2 para makuha ang -6.

$$y-3x=-6$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\\-\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=1,y=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang 1+y.

$$x+2y=3+3y+1$$

Idagdag ang 3 at 1 para makuha ang 4.

$$x+2y=4+3y$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo.

$$x+2y-3y=4$$

Pagsamahin ang 2y at -3y para makuha ang -y.

$$x-y=4$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang 1-y.

$$8-y=2-2y+3x$$

Idagdag ang 2y sa parehong bahagi.

$$8-y+2y=2+3x$$

Pagsamahin ang -y at 2y para makuha ang y.

$$8+y=2+3x$$

I-subtract ang 3x mula sa magkabilang dulo.

$$8+y-3x=2$$

I-subtract ang 8 mula sa magkabilang dulo.

$$y-3x=2-8$$

I-subtract ang 8 mula sa 2 para makuha ang -6.

$$y-3x=-6$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

Para gawing magkatumbas ang x at -3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$-3x-3\left(-1\right)y=-3\times 4,-3x+y=-6$$

Pasimplehin.

$$-3x+3y=-12,-3x+y=-6$$

I-subtract ang -3x+y=-6 mula sa -3x+3y=-12 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-3x+3x+3y-y=-12+6$$

Idagdag ang -3x sa 3x. Naka-cancel out ang term na -3x at 3x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$3y-y=-12+6$$

Idagdag ang 3y sa -y.

$$2y=-12+6$$

Idagdag ang -12 sa 6.

$$2y=-6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$y=-3$$

I-substitute ang -3 para sa y sa -3x+y=-6. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-3x-3=-6$$

Idagdag ang 3 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-3x=-3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=-3$$