Lutasin ang {l}{7x-8y=-12}{-4x+2y=3}

$$\left. \begin{array}{l}{ 7 x - 8 y = - 12 }\\{ - 4 x + 2 y = 3 }\end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=0$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$7x-8y=-12,-4x+2y=3$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$7x-8y=-12$$

Idagdag ang 8y sa magkabilang dulo ng equation.

$$7x=8y-12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(8y-12\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{7} times 8y-12.

$$x=\frac{8}{7}y-\frac{12}{7}$$

I-substitute ang \frac{8y-12}{7} para sa x sa kabilang equation na -4x+2y=3.

$$-4\left(\frac{8}{7}y-\frac{12}{7}\right)+2y=3$$

I-multiply ang -4 times \frac{8y-12}{7}.

$$-\frac{32}{7}y+\frac{48}{7}+2y=3$$

Idagdag ang -\frac{32y}{7} sa 2y.

$$-\frac{18}{7}y+\frac{48}{7}=3$$

I-subtract ang \frac{48}{7} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{18}{7}y=-\frac{27}{7}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{18}{7}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{3}{2}$$

I-substitute ang \frac{3}{2} para sa y sa x=\frac{8}{7}y-\frac{12}{7}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{8}{7}\times \frac{3}{2}-\frac{12}{7}$$

I-multiply ang \frac{8}{7} times \frac{3}{2} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{12-12}{7}$$

Idagdag ang -\frac{12}{7} sa \frac{12}{7} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=0$$

Nalutas na ang system.

$$x=0,y=\frac{3}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$7x-8y=-12,-4x+2y=3$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-\left(-8\left(-4\right)\right)}&-\frac{-8}{7\times 2-\left(-8\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{7\times 2-\left(-8\left(-4\right)\right)}&\frac{7}{7\times 2-\left(-8\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&-\frac{4}{9}\\-\frac{2}{9}&-\frac{7}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\left(-12\right)-\frac{4}{9}\times 3\\-\frac{2}{9}\left(-12\right)-\frac{7}{18}\times 3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=0,y=\frac{3}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$7x-8y=-12,-4x+2y=3$$

Para gawing magkatumbas ang 7x at -4x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -4 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 7.

$$-4\times 7x-4\left(-8\right)y=-4\left(-12\right),7\left(-4\right)x+7\times 2y=7\times 3$$

Pasimplehin.

$$-28x+32y=48,-28x+14y=21$$

I-subtract ang -28x+14y=21 mula sa -28x+32y=48 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-28x+28x+32y-14y=48-21$$

Idagdag ang -28x sa 28x. Naka-cancel out ang term na -28x at 28x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$32y-14y=48-21$$

Idagdag ang 32y sa -14y.

$$18y=48-21$$

Idagdag ang 48 sa -21.

$$18y=27$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 18.

$$y=\frac{3}{2}$$

I-substitute ang \frac{3}{2} para sa y sa -4x+2y=3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-4x+2\times \frac{3}{2}=3$$

I-multiply ang 2 times \frac{3}{2}.

$$-4x+3=3$$

I-subtract ang 3 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-4x=0$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -4.

$$x=0$$

Nalutas na ang system.

$$x=0,y=\frac{3}{2}$$