Lutasin ang {l}{5a-6b=-9}{10a+7b=58}

$$\left. \begin{array}{l}{ 5 a - 6 b = - 9 }\\{ 10 a + 7 b = 58 }\end{array} \right.$$

I-solve ang a, b

$$a=3$$

$$b=4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5a-6b=-9,10a+7b=58$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa a sa pamamagitan ng pag-isolate sa a sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5a-6b=-9$$

Idagdag ang 6b sa magkabilang dulo ng equation.

$$5a=6b-9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$a=\frac{1}{5}\left(6b-9\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times 6b-9.

$$a=\frac{6}{5}b-\frac{9}{5}$$

I-substitute ang \frac{6b-9}{5} para sa a sa kabilang equation na 10a+7b=58.

$$10\left(\frac{6}{5}b-\frac{9}{5}\right)+7b=58$$

I-multiply ang 10 times \frac{6b-9}{5}.

$$12b-18+7b=58$$

Idagdag ang 12b sa 7b.

$$19b-18=58$$

Idagdag ang 18 sa magkabilang dulo ng equation.

$$19b=76$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 19.

$$b=4$$

I-substitute ang 4 para sa b sa a=\frac{6}{5}b-\frac{9}{5}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang a nang direkta.

$$a=\frac{6}{5}\times 4-\frac{9}{5}$$

I-multiply ang \frac{6}{5} times 4.

$$a=\frac{24-9}{5}$$

Idagdag ang -\frac{9}{5} sa \frac{24}{5} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$a=3$$

Nalutas na ang system.

$$a=3,b=4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5a-6b=-9,10a+7b=58$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\10&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\58\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&-6\\10&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\10&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\58\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\58\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\58\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-6\times 10\right)}&-\frac{-6}{5\times 7-\left(-6\times 10\right)}\\-\frac{10}{5\times 7-\left(-6\times 10\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-6\times 10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\58\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{95}&\frac{6}{95}\\-\frac{2}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\58\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{95}\left(-9\right)+\frac{6}{95}\times 58\\-\frac{2}{19}\left(-9\right)+\frac{1}{19}\times 58\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na a at b.

$$a=3,b=4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5a-6b=-9,10a+7b=58$$

Para gawing magkatumbas ang 5a at 10a, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 10 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 5.

$$10\times 5a+10\left(-6\right)b=10\left(-9\right),5\times 10a+5\times 7b=5\times 58$$

Pasimplehin.

$$50a-60b=-90,50a+35b=290$$

I-subtract ang 50a+35b=290 mula sa 50a-60b=-90 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$50a-50a-60b-35b=-90-290$$

Idagdag ang 50a sa -50a. Naka-cancel out ang term na 50a at -50a ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-60b-35b=-90-290$$

Idagdag ang -60b sa -35b.

$$-95b=-90-290$$

Idagdag ang -90 sa -290.

$$-95b=-380$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -95.

$$b=4$$

I-substitute ang 4 para sa b sa 10a+7b=58. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang a nang direkta.

$$10a+7\times 4=58$$

I-multiply ang 7 times 4.

$$10a+28=58$$

I-subtract ang 28 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$10a=30$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 10.

$$a=3$$

Nalutas na ang system.

$$a=3,b=4$$