Lutasin ang {l}{4x-7y=10}{-3x+2y=-9}

$$\left. \begin{array}{l}{ 4 x - 7 y = 10 }\\{ - 3 x + 2 y = - 9 }\end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{43}{13} = 3\frac{4}{13} \approx 3.307692308$$

$$y=\frac{6}{13}\approx 0.461538462$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$4x-7y=10,-3x+2y=-9$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$4x-7y=10$$

Idagdag ang 7y sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=7y+10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(7y+10\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{4} times 7y+10.

$$x=\frac{7}{4}y+\frac{5}{2}$$

I-substitute ang \frac{7y}{4}+\frac{5}{2} para sa x sa kabilang equation na -3x+2y=-9.

$$-3\left(\frac{7}{4}y+\frac{5}{2}\right)+2y=-9$$

I-multiply ang -3 times \frac{7y}{4}+\frac{5}{2}.

$$-\frac{21}{4}y-\frac{15}{2}+2y=-9$$

Idagdag ang -\frac{21y}{4} sa 2y.

$$-\frac{13}{4}y-\frac{15}{2}=-9$$

Idagdag ang \frac{15}{2} sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{13}{4}y=-\frac{3}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{13}{4}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{6}{13}$$

I-substitute ang \frac{6}{13} para sa y sa x=\frac{7}{4}y+\frac{5}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{7}{4}\times \frac{6}{13}+\frac{5}{2}$$

I-multiply ang \frac{7}{4} times \frac{6}{13} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{21}{26}+\frac{5}{2}$$

Idagdag ang \frac{5}{2} sa \frac{21}{26} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{43}{13}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{43}{13},y=\frac{6}{13}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$4x-7y=10,-3x+2y=-9$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}4&-7\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-9\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}4&-7\\-3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-7\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-9\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-9\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-9\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-7\left(-3\right)\right)}&-\frac{-7}{4\times 2-\left(-7\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{4\times 2-\left(-7\left(-3\right)\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-7\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-9\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&-\frac{7}{13}\\-\frac{3}{13}&-\frac{4}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-9\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\times 10-\frac{7}{13}\left(-9\right)\\-\frac{3}{13}\times 10-\frac{4}{13}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{43}{13}\\\frac{6}{13}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{43}{13},y=\frac{6}{13}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$4x-7y=10,-3x+2y=-9$$

Para gawing magkatumbas ang 4x at -3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 4.

$$-3\times 4x-3\left(-7\right)y=-3\times 10,4\left(-3\right)x+4\times 2y=4\left(-9\right)$$

Pasimplehin.

$$-12x+21y=-30,-12x+8y=-36$$

I-subtract ang -12x+8y=-36 mula sa -12x+21y=-30 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-12x+12x+21y-8y=-30+36$$

Idagdag ang -12x sa 12x. Naka-cancel out ang term na -12x at 12x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$21y-8y=-30+36$$

Idagdag ang 21y sa -8y.

$$13y=-30+36$$

Idagdag ang -30 sa 36.

$$13y=6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 13.

$$y=\frac{6}{13}$$

I-substitute ang \frac{6}{13} para sa y sa -3x+2y=-9. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-3x+2\times \frac{6}{13}=-9$$

I-multiply ang 2 times \frac{6}{13}.

$$-3x+\frac{12}{13}=-9$$

I-subtract ang \frac{12}{13} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-3x=-\frac{129}{13}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$x=\frac{43}{13}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{43}{13},y=\frac{6}{13}$$