Lutasin ang {l}{-5x+y=-11}{4x-6y=14}

$$\left. \begin{array}{l}{ - 5 x + y = - 11 }\\{ 4 x - 6 y = 14 }\end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=2$$

$$y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-5x+y=-11,4x-6y=14$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-5x+y=-11$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-5x=-y-11$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-y-11\right)$$

I-multiply ang -\frac{1}{5} times -y-11.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{11}{5}$$

I-substitute ang \frac{11+y}{5} para sa x sa kabilang equation na 4x-6y=14.

$$4\left(\frac{1}{5}y+\frac{11}{5}\right)-6y=14$$

I-multiply ang 4 times \frac{11+y}{5}.

$$\frac{4}{5}y+\frac{44}{5}-6y=14$$

Idagdag ang \frac{4y}{5} sa -6y.

$$-\frac{26}{5}y+\frac{44}{5}=14$$

I-subtract ang \frac{44}{5} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{26}{5}y=\frac{26}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{26}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-1$$

I-substitute ang -1 para sa y sa x=\frac{1}{5}y+\frac{11}{5}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{1}{5}\left(-1\right)+\frac{11}{5}$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times -1.

$$x=\frac{-1+11}{5}$$

Idagdag ang \frac{11}{5} sa -\frac{1}{5} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=2$$

Nalutas na ang system.

$$x=2,y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-5x+y=-11,4x-6y=14$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-5\left(-6\right)-4}&-\frac{1}{-5\left(-6\right)-4}\\-\frac{4}{-5\left(-6\right)-4}&-\frac{5}{-5\left(-6\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{13}&-\frac{1}{26}\\-\frac{2}{13}&-\frac{5}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{13}\left(-11\right)-\frac{1}{26}\times 14\\-\frac{2}{13}\left(-11\right)-\frac{5}{26}\times 14\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=2,y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-5x+y=-11,4x-6y=14$$

Para gawing magkatumbas ang -5x at 4x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 4 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -5.

$$4\left(-5\right)x+4y=4\left(-11\right),-5\times 4x-5\left(-6\right)y=-5\times 14$$

Pasimplehin.

$$-20x+4y=-44,-20x+30y=-70$$

I-subtract ang -20x+30y=-70 mula sa -20x+4y=-44 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-20x+20x+4y-30y=-44+70$$

Idagdag ang -20x sa 20x. Naka-cancel out ang term na -20x at 20x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$4y-30y=-44+70$$

Idagdag ang 4y sa -30y.

$$-26y=-44+70$$

Idagdag ang -44 sa 70.

$$-26y=26$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -26.

$$y=-1$$

I-substitute ang -1 para sa y sa 4x-6y=14. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$4x-6\left(-1\right)=14$$

I-multiply ang -6 times -1.

$$4x+6=14$$

I-subtract ang 6 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=8$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=2$$

Nalutas na ang system.

$$x=2,y=-1$$