Lutasin ang {l}{-2x-3y=7}{-13x+20y=322}

$$\left. \begin{array}{l}{ - 2 x - 3 y = 7 }\\{ - 13 x + 20 y = 322 }\end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-14$$

$$y=7$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-2x-3y=7,-13x+20y=322$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-2x-3y=7$$

Idagdag ang 3y sa magkabilang dulo ng equation.

$$-2x=3y+7$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(3y+7\right)$$

I-multiply ang -\frac{1}{2} times 3y+7.

$$x=-\frac{3}{2}y-\frac{7}{2}$$

I-substitute ang \frac{-3y-7}{2} para sa x sa kabilang equation na -13x+20y=322.

$$-13\left(-\frac{3}{2}y-\frac{7}{2}\right)+20y=322$$

I-multiply ang -13 times \frac{-3y-7}{2}.

$$\frac{39}{2}y+\frac{91}{2}+20y=322$$

Idagdag ang \frac{39y}{2} sa 20y.

$$\frac{79}{2}y+\frac{91}{2}=322$$

I-subtract ang \frac{91}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{79}{2}y=\frac{553}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{79}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=7$$

I-substitute ang 7 para sa y sa x=-\frac{3}{2}y-\frac{7}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{3}{2}\times 7-\frac{7}{2}$$

I-multiply ang -\frac{3}{2} times 7.

$$x=\frac{-21-7}{2}$$

Idagdag ang -\frac{7}{2} sa -\frac{21}{2} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-14$$

Nalutas na ang system.

$$x=-14,y=7$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-2x-3y=7,-13x+20y=322$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-2&-3\\-13&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\322\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-2&-3\\-13&20\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-3\\-13&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-3\\-13&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-3\\-13&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\322\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-3\\-13&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\322\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-3\\-13&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\322\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{-2\times 20-\left(-3\left(-13\right)\right)}&-\frac{-3}{-2\times 20-\left(-3\left(-13\right)\right)}\\-\frac{-13}{-2\times 20-\left(-3\left(-13\right)\right)}&-\frac{2}{-2\times 20-\left(-3\left(-13\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\322\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{79}&-\frac{3}{79}\\-\frac{13}{79}&\frac{2}{79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\322\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{79}\times 7-\frac{3}{79}\times 322\\-\frac{13}{79}\times 7+\frac{2}{79}\times 322\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-14,y=7$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-2x-3y=7,-13x+20y=322$$

Para gawing magkatumbas ang -2x at -13x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -13 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -2.

$$-13\left(-2\right)x-13\left(-3\right)y=-13\times 7,-2\left(-13\right)x-2\times 20y=-2\times 322$$

Pasimplehin.

$$26x+39y=-91,26x-40y=-644$$

I-subtract ang 26x-40y=-644 mula sa 26x+39y=-91 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$26x-26x+39y+40y=-91+644$$

Idagdag ang 26x sa -26x. Naka-cancel out ang term na 26x at -26x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$39y+40y=-91+644$$

Idagdag ang 39y sa 40y.

$$79y=-91+644$$

Idagdag ang -91 sa 644.

$$79y=553$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 79.

$$y=7$$

I-substitute ang 7 para sa y sa -13x+20y=322. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-13x+20\times 7=322$$

I-multiply ang 20 times 7.

$$-13x+140=322$$

I-subtract ang 140 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-13x=182$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -13.

$$x=-14$$

Nalutas na ang system.

$$x=-14,y=7$$