Lutasin ang {l}{x+1/y+1=1/3}{x-1/y-1=1/4}

$$\left. \begin{array}{l}{ \frac { x + 1 } { y + 1 } = \frac { 1 } { 3 } }\\{ \frac { x - 1 } { y - 1 } = \frac { 1 } { 4 } }\end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=5$$

$$y=17$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Ang variable y ay hindi katumbas ng -1 dahil hindi tukoy ang division by zero. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 3\left(y+1\right), ang least common multiple ng y+1,3.

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang x+1.

$$3x+3=y+1$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$3x+3-y=1$$

I-subtract ang 3 mula sa magkabilang dulo.

$$3x-y=1-3$$

I-subtract ang 3 mula sa 1 para makuha ang -2.

$$3x-y=-2$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Ang variable y ay hindi katumbas ng 1 dahil hindi tukoy ang division by zero. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 4\left(y-1\right), ang least common multiple ng y-1,4.

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 4 gamit ang x-1.

$$4x-4=y-1$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$4x-4-y=-1$$

Idagdag ang 4 sa parehong bahagi.

$$4x-y=-1+4$$

Idagdag ang -1 at 4 para makuha ang 3.

$$4x-y=3$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x-y=-2$$

Idagdag ang y sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=y-2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y-2\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times y-2.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}$$

I-substitute ang \frac{-2+y}{3} para sa x sa kabilang equation na 4x-y=3.

$$4\left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)-y=3$$

I-multiply ang 4 times \frac{-2+y}{3}.

$$\frac{4}{3}y-\frac{8}{3}-y=3$$

Idagdag ang \frac{4y}{3} sa -y.

$$\frac{1}{3}y-\frac{8}{3}=3$$

Idagdag ang \frac{8}{3} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{1}{3}y=\frac{17}{3}$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$y=17$$

I-substitute ang 17 para sa y sa x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{1}{3}\times 17-\frac{2}{3}$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times 17.

$$x=\frac{17-2}{3}$$

Idagdag ang -\frac{2}{3} sa \frac{17}{3} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=5$$

Nalutas na ang system.

$$x=5,y=17$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Ang variable y ay hindi katumbas ng -1 dahil hindi tukoy ang division by zero. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 3\left(y+1\right), ang least common multiple ng y+1,3.

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang x+1.

$$3x+3=y+1$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$3x+3-y=1$$

I-subtract ang 3 mula sa magkabilang dulo.

$$3x-y=1-3$$

I-subtract ang 3 mula sa 1 para makuha ang -2.

$$3x-y=-2$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Ang variable y ay hindi katumbas ng 1 dahil hindi tukoy ang division by zero. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 4\left(y-1\right), ang least common multiple ng y-1,4.

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 4 gamit ang x-1.

$$4x-4=y-1$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$4x-4-y=-1$$

Idagdag ang 4 sa parehong bahagi.

$$4x-y=-1+4$$

Idagdag ang -1 at 4 para makuha ang 3.

$$4x-y=3$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-2\right)+3\\-4\left(-2\right)+3\times 3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\17\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=5,y=17$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Ang variable y ay hindi katumbas ng -1 dahil hindi tukoy ang division by zero. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 3\left(y+1\right), ang least common multiple ng y+1,3.

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang x+1.

$$3x+3=y+1$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$3x+3-y=1$$

I-subtract ang 3 mula sa magkabilang dulo.

$$3x-y=1-3$$

I-subtract ang 3 mula sa 1 para makuha ang -2.

$$3x-y=-2$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Ang variable y ay hindi katumbas ng 1 dahil hindi tukoy ang division by zero. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 4\left(y-1\right), ang least common multiple ng y-1,4.

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 4 gamit ang x-1.

$$4x-4=y-1$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$4x-4-y=-1$$

Idagdag ang 4 sa parehong bahagi.

$$4x-y=-1+4$$

Idagdag ang -1 at 4 para makuha ang 3.

$$4x-y=3$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

I-subtract ang 4x-y=3 mula sa 3x-y=-2 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$3x-4x-y+y=-2-3$$

Idagdag ang -y sa y. Naka-cancel out ang term na -y at y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$3x-4x=-2-3$$

Idagdag ang 3x sa -4x.

$$-x=-2-3$$

Idagdag ang -2 sa -3.

$$-x=-5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$x=5$$

I-substitute ang 5 para sa x sa 4x-y=3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$4\times 5-y=3$$

I-multiply ang 4 times 5.

$$20-y=3$$

I-subtract ang 20 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-y=-17$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$y=17$$

Nalutas na ang system.

$$x=5,y=17$$