Lutasin ang {r}{x+4y=40}{-x+8y=68}

$$\left. \begin{array} { r } { x + 4 y = 40 } \\ { - x + 8 y = 68 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=4$$

$$y=9$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+4y=40,-x+8y=68$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+4y=40$$

I-subtract ang 4y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-4y+40$$

I-substitute ang -4y+40 para sa x sa kabilang equation na -x+8y=68.

$$-\left(-4y+40\right)+8y=68$$

I-multiply ang -1 times -4y+40.

$$4y-40+8y=68$$

Idagdag ang 4y sa 8y.

$$12y-40=68$$

Idagdag ang 40 sa magkabilang dulo ng equation.

$$12y=108$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 12.

$$y=9$$

I-substitute ang 9 para sa y sa x=-4y+40. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-4\times 9+40$$

I-multiply ang -4 times 9.

$$x=-36+40$$

Idagdag ang 40 sa -36.

$$x=4$$

Nalutas na ang system.

$$x=4,y=9$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+4y=40,-x+8y=68$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\-1&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\68\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&4\\-1&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\-1&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\68\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\68\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\68\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-4\left(-1\right)}&-\frac{4}{8-4\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{8-4\left(-1\right)}&\frac{1}{8-4\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\68\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\68\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 40-\frac{1}{3}\times 68\\\frac{1}{12}\times 40+\frac{1}{12}\times 68\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\9\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=4,y=9$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+4y=40,-x+8y=68$$

Para gawing magkatumbas ang x at -x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$-x-4y=-40,-x+8y=68$$

I-subtract ang -x+8y=68 mula sa -x-4y=-40 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-x+x-4y-8y=-40-68$$

Idagdag ang -x sa x. Naka-cancel out ang term na -x at x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-4y-8y=-40-68$$

Idagdag ang -4y sa -8y.

$$-12y=-40-68$$

Idagdag ang -40 sa -68.

$$-12y=-108$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -12.

$$y=9$$

I-substitute ang 9 para sa y sa -x+8y=68. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-x+8\times 9=68$$

I-multiply ang 8 times 9.

$$-x+72=68$$

I-subtract ang 72 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-x=-4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$x=4$$

Nalutas na ang system.

$$x=4,y=9$$