Lutasin ang {r}{x+3y=7}{5x-4y=-22}

$$\left. \begin{array} { r } { x + 3 y = 7 } \\ { 5 x - 4 y = - 22 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-2$$

$$y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+3y=7,5x-4y=-22$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+3y=7$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-3y+7$$

I-substitute ang -3y+7 para sa x sa kabilang equation na 5x-4y=-22.

$$5\left(-3y+7\right)-4y=-22$$

I-multiply ang 5 times -3y+7.

$$-15y+35-4y=-22$$

Idagdag ang -15y sa -4y.

$$-19y+35=-22$$

I-subtract ang 35 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-19y=-57$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -19.

$$y=3$$

I-substitute ang 3 para sa y sa x=-3y+7. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-3\times 3+7$$

I-multiply ang -3 times 3.

$$x=-9+7$$

Idagdag ang 7 sa -9.

$$x=-2$$

Nalutas na ang system.

$$x=-2,y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+3y=7,5x-4y=-22$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-22\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&3\\5&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-22\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-22\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-22\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-3\times 5}&-\frac{3}{-4-3\times 5}\\-\frac{5}{-4-3\times 5}&\frac{1}{-4-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-22\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{19}&\frac{3}{19}\\\frac{5}{19}&-\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-22\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{19}\times 7+\frac{3}{19}\left(-22\right)\\\frac{5}{19}\times 7-\frac{1}{19}\left(-22\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-2,y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+3y=7,5x-4y=-22$$

Para gawing magkatumbas ang x at 5x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 5 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$5x+5\times 3y=5\times 7,5x-4y=-22$$

Pasimplehin.

$$5x+15y=35,5x-4y=-22$$

I-subtract ang 5x-4y=-22 mula sa 5x+15y=35 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$5x-5x+15y+4y=35+22$$

Idagdag ang 5x sa -5x. Naka-cancel out ang term na 5x at -5x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$15y+4y=35+22$$

Idagdag ang 15y sa 4y.

$$19y=35+22$$

Idagdag ang 35 sa 22.

$$19y=57$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 19.

$$y=3$$

I-substitute ang 3 para sa y sa 5x-4y=-22. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$5x-4\times 3=-22$$

I-multiply ang -4 times 3.

$$5x-12=-22$$

Idagdag ang 12 sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=-10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=-2$$

Nalutas na ang system.

$$x=-2,y=3$$