Lutasin ang {r}{x+3y=-2}{-x-12y=12}

$$\left. \begin{array} { r } { x + 3 y = - 2 } \\ { - x - 12 y = 12 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$y = -\frac{10}{9} = -1\frac{1}{9} \approx -1.111111111$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+3y=-2,-x-12y=12$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+3y=-2$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-3y-2$$

I-substitute ang -3y-2 para sa x sa kabilang equation na -x-12y=12.

$$-\left(-3y-2\right)-12y=12$$

I-multiply ang -1 times -3y-2.

$$3y+2-12y=12$$

Idagdag ang 3y sa -12y.

$$-9y+2=12$$

I-subtract ang 2 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-9y=10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -9.

$$y=-\frac{10}{9}$$

I-substitute ang -\frac{10}{9} para sa y sa x=-3y-2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-3\left(-\frac{10}{9}\right)-2$$

I-multiply ang -3 times -\frac{10}{9}.

$$x=\frac{10}{3}-2$$

Idagdag ang -2 sa \frac{10}{3}.

$$x=\frac{4}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{4}{3},y=-\frac{10}{9}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+3y=-2,-x-12y=12$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\-1&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\12\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&3\\-1&-12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\-1&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\12\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\12\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\12\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{-12-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{-12-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{-12-3\left(-1\right)}&\frac{1}{-12-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\12\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\12\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\left(-2\right)+\frac{1}{3}\times 12\\-\frac{1}{9}\left(-2\right)-\frac{1}{9}\times 12\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\-\frac{10}{9}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{4}{3},y=-\frac{10}{9}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+3y=-2,-x-12y=12$$

Para gawing magkatumbas ang x at -x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$-x-3y=-\left(-2\right),-x-12y=12$$

Pasimplehin.

$$-x-3y=2,-x-12y=12$$

I-subtract ang -x-12y=12 mula sa -x-3y=2 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-x+x-3y+12y=2-12$$

Idagdag ang -x sa x. Naka-cancel out ang term na -x at x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-3y+12y=2-12$$

Idagdag ang -3y sa 12y.

$$9y=2-12$$

Idagdag ang 2 sa -12.

$$9y=-10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 9.

$$y=-\frac{10}{9}$$

I-substitute ang -\frac{10}{9} para sa y sa -x-12y=12. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-x-12\left(-\frac{10}{9}\right)=12$$

I-multiply ang -12 times -\frac{10}{9}.

$$-x+\frac{40}{3}=12$$

I-subtract ang \frac{40}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-x=-\frac{4}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$x=\frac{4}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{4}{3},y=-\frac{10}{9}$$