Lutasin ang {r}{a+b=20}{6a+2b=20}

$$\left. \begin{array} { r } { a + b = 20 } \\ { 6 a + 2 b = 20 } \end{array} \right.$$

I-solve ang a, b

$$a=-5$$

$$b=25$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$a+b=20,6a+2b=20$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa a sa pamamagitan ng pag-isolate sa a sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$a+b=20$$

I-subtract ang b mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$a=-b+20$$

I-substitute ang -b+20 para sa a sa kabilang equation na 6a+2b=20.

$$6\left(-b+20\right)+2b=20$$

I-multiply ang 6 times -b+20.

$$-6b+120+2b=20$$

Idagdag ang -6b sa 2b.

$$-4b+120=20$$

I-subtract ang 120 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-4b=-100$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -4.

$$b=25$$

I-substitute ang 25 para sa b sa a=-b+20. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang a nang direkta.

$$a=-25+20$$

Idagdag ang 20 sa -25.

$$a=-5$$

Nalutas na ang system.

$$a=-5,b=25$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$a+b=20,6a+2b=20$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-6}&-\frac{1}{2-6}\\-\frac{6}{2-6}&\frac{1}{2-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 20+\frac{1}{4}\times 20\\\frac{3}{2}\times 20-\frac{1}{4}\times 20\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\25\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na a at b.

$$a=-5,b=25$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$a+b=20,6a+2b=20$$

Para gawing magkatumbas ang a at 6a, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 6 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$6a+6b=6\times 20,6a+2b=20$$

Pasimplehin.

$$6a+6b=120,6a+2b=20$$

I-subtract ang 6a+2b=20 mula sa 6a+6b=120 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$6a-6a+6b-2b=120-20$$

Idagdag ang 6a sa -6a. Naka-cancel out ang term na 6a at -6a ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$6b-2b=120-20$$

Idagdag ang 6b sa -2b.

$$4b=120-20$$

Idagdag ang 120 sa -20.

$$4b=100$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$b=25$$

I-substitute ang 25 para sa b sa 6a+2b=20. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang a nang direkta.

$$6a+2\times 25=20$$

I-multiply ang 2 times 25.

$$6a+50=20$$

I-subtract ang 50 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$6a=-30$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$a=-5$$

Nalutas na ang system.

$$a=-5,b=25$$