Lutasin ang {r}{8x+y=21}{24x-5y=23}

$$\left. \begin{array} { r } { 8 x + y = 21 } \\ { 24 x - 5 y = 23 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=2$$

$$y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$8x+y=21$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$8x=-y+21$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-y+21\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{8} times -y+21.

$$x=-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8}$$

I-substitute ang \frac{-y+21}{8} para sa x sa kabilang equation na 24x-5y=23.

$$24\left(-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8}\right)-5y=23$$

I-multiply ang 24 times \frac{-y+21}{8}.

$$-3y+63-5y=23$$

Idagdag ang -3y sa -5y.

$$-8y+63=23$$

I-subtract ang 63 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-8y=-40$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -8.

$$y=5$$

I-substitute ang 5 para sa y sa x=-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{8}\times 5+\frac{21}{8}$$

I-multiply ang -\frac{1}{8} times 5.

$$x=\frac{-5+21}{8}$$

Idagdag ang \frac{21}{8} sa -\frac{5}{8} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=2$$

Nalutas na ang system.

$$x=2,y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8\left(-5\right)-24}&-\frac{1}{8\left(-5\right)-24}\\-\frac{24}{8\left(-5\right)-24}&\frac{8}{8\left(-5\right)-24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{64}&\frac{1}{64}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{64}\times 21+\frac{1}{64}\times 23\\\frac{3}{8}\times 21-\frac{1}{8}\times 23\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=2,y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

Para gawing magkatumbas ang 8x at 24x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 24 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 8.

$$24\times 8x+24y=24\times 21,8\times 24x+8\left(-5\right)y=8\times 23$$

Pasimplehin.

$$192x+24y=504,192x-40y=184$$

I-subtract ang 192x-40y=184 mula sa 192x+24y=504 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$192x-192x+24y+40y=504-184$$

Idagdag ang 192x sa -192x. Naka-cancel out ang term na 192x at -192x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$24y+40y=504-184$$

Idagdag ang 24y sa 40y.

$$64y=504-184$$

Idagdag ang 504 sa -184.

$$64y=320$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 64.

$$y=5$$

I-substitute ang 5 para sa y sa 24x-5y=23. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$24x-5\times 5=23$$

I-multiply ang -5 times 5.

$$24x-25=23$$

Idagdag ang 25 sa magkabilang dulo ng equation.

$$24x=48$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 24.

$$x=2$$

Nalutas na ang system.

$$x=2,y=5$$