Lutasin ang {r}{7x+2y=24}{-8x+2y=-30}

$$\left. \begin{array} { r } { 7 x + 2 y = 24 } \\ { - 8 x + 2 y = - 30 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

$$y=-\frac{3}{5}=-0.6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$7x+2y=24,-8x+2y=-30$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$7x+2y=24$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$7x=-2y+24$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-2y+24\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{7} times -2y+24.

$$x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}$$

I-substitute ang \frac{-2y+24}{7} para sa x sa kabilang equation na -8x+2y=-30.

$$-8\left(-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}\right)+2y=-30$$

I-multiply ang -8 times \frac{-2y+24}{7}.

$$\frac{16}{7}y-\frac{192}{7}+2y=-30$$

Idagdag ang \frac{16y}{7} sa 2y.

$$\frac{30}{7}y-\frac{192}{7}=-30$$

Idagdag ang \frac{192}{7} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{30}{7}y=-\frac{18}{7}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{30}{7}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-\frac{3}{5}$$

I-substitute ang -\frac{3}{5} para sa y sa x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{2}{7}\left(-\frac{3}{5}\right)+\frac{24}{7}$$

I-multiply ang -\frac{2}{7} times -\frac{3}{5} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{6}{35}+\frac{24}{7}$$

Idagdag ang \frac{24}{7} sa \frac{6}{35} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{18}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{3}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$7x+2y=24,-8x+2y=-30$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-2\left(-8\right)}&-\frac{2}{7\times 2-2\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{7\times 2-2\left(-8\right)}&\frac{7}{7\times 2-2\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&-\frac{1}{15}\\\frac{4}{15}&\frac{7}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 24-\frac{1}{15}\left(-30\right)\\\frac{4}{15}\times 24+\frac{7}{30}\left(-30\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{5}\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{3}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$7x+2y=24,-8x+2y=-30$$

I-subtract ang -8x+2y=-30 mula sa 7x+2y=24 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$7x+8x+2y-2y=24+30$$

Idagdag ang 2y sa -2y. Naka-cancel out ang term na 2y at -2y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$7x+8x=24+30$$

Idagdag ang 7x sa 8x.

$$15x=24+30$$

Idagdag ang 24 sa 30.

$$15x=54$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 15.

$$x=\frac{18}{5}$$

I-substitute ang \frac{18}{5} para sa x sa -8x+2y=-30. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$-8\times \frac{18}{5}+2y=-30$$

I-multiply ang -8 times \frac{18}{5}.

$$-\frac{144}{5}+2y=-30$$

Idagdag ang \frac{144}{5} sa magkabilang dulo ng equation.

$$2y=-\frac{6}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$y=-\frac{3}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{3}{5}$$