Lutasin ang {r}{6x+8y=k}{x+y=1}

$$\left. \begin{array} { r } { 6 x + 8 y = k } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-\frac{k}{2}+4$$

$$y=\frac{k}{2}-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$6x+8y=k,x+y=1$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$6x+8y=k$$

I-subtract ang 8y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$6x=-8y+k$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-8y+k\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{6} times -8y+k.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{k}{6}$$

I-substitute ang -\frac{4y}{3}+\frac{k}{6} para sa x sa kabilang equation na x+y=1.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{k}{6}+y=1$$

Idagdag ang -\frac{4y}{3} sa y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{k}{6}=1$$

I-subtract ang \frac{k}{6} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{k}{6}+1$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$y=\frac{k}{2}-3$$

I-substitute ang -3+\frac{k}{2} para sa y sa x=-\frac{4}{3}y+\frac{k}{6}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{4}{3}\left(\frac{k}{2}-3\right)+\frac{k}{6}$$

I-multiply ang -\frac{4}{3} times -3+\frac{k}{2}.

$$x=-\frac{2k}{3}+4+\frac{k}{6}$$

Idagdag ang \frac{k}{6} sa 4-\frac{2k}{3}.

$$x=-\frac{k}{2}+4$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{k}{2}+4,y=\frac{k}{2}-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$6x+8y=k,x+y=1$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-8}&-\frac{8}{6-8}\\-\frac{1}{6-8}&\frac{6}{6-8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&4\\\frac{1}{2}&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}k+4\\\frac{1}{2}k-3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{k}{2}+4\\\frac{k}{2}-3\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{k}{2}+4,y=\frac{k}{2}-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$6x+8y=k,x+y=1$$

Para gawing magkatumbas ang 6x at x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 6.

$$6x+8y=k,6x+6y=6$$

I-subtract ang 6x+6y=6 mula sa 6x+8y=k sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$6x-6x+8y-6y=k-6$$

Idagdag ang 6x sa -6x. Naka-cancel out ang term na 6x at -6x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$8y-6y=k-6$$

Idagdag ang 8y sa -6y.

$$2y=k-6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$y=\frac{k}{2}-3$$

I-substitute ang \frac{k}{2}-3 para sa y sa x+y=1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x+\frac{k}{2}-3=1$$

I-subtract ang -3+\frac{k}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-\frac{k}{2}+4$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{k}{2}+4,y=\frac{k}{2}-3$$