Lutasin ang {r}{5y+x=44}{y-x=4}

$$\left. \begin{array} { r } { 5 y + x = 44 } \\ { y - x = 4 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x=4$$

$$y=8$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5y+x=44,y-x=4$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5y+x=44$$

I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$5y=-x+44$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$y=\frac{1}{5}\left(-x+44\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times -x+44.

$$y=-\frac{1}{5}x+\frac{44}{5}$$

I-substitute ang \frac{-x+44}{5} para sa y sa kabilang equation na y-x=4.

$$-\frac{1}{5}x+\frac{44}{5}-x=4$$

Idagdag ang -\frac{x}{5} sa -x.

$$-\frac{6}{5}x+\frac{44}{5}=4$$

I-subtract ang \frac{44}{5} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{6}{5}x=-\frac{24}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{6}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=4$$

I-substitute ang 4 para sa x sa y=-\frac{1}{5}x+\frac{44}{5}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=-\frac{1}{5}\times 4+\frac{44}{5}$$

I-multiply ang -\frac{1}{5} times 4.

$$y=\frac{-4+44}{5}$$

Idagdag ang \frac{44}{5} sa -\frac{4}{5} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$y=8$$

Nalutas na ang system.

$$y=8,x=4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5y+x=44,y-x=4$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{5\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{5\left(-1\right)-1}&\frac{5}{5\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{6}&-\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 44+\frac{1}{6}\times 4\\\frac{1}{6}\times 44-\frac{5}{6}\times 4\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=8,x=4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5y+x=44,y-x=4$$

Para gawing magkatumbas ang 5y at y, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 5.

$$5y+x=44,5y+5\left(-1\right)x=5\times 4$$

Pasimplehin.

$$5y+x=44,5y-5x=20$$

I-subtract ang 5y-5x=20 mula sa 5y+x=44 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$5y-5y+x+5x=44-20$$

Idagdag ang 5y sa -5y. Naka-cancel out ang term na 5y at -5y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$x+5x=44-20$$

Idagdag ang x sa 5x.

$$6x=44-20$$

Idagdag ang 44 sa -20.

$$6x=24$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$x=4$$

I-substitute ang 4 para sa x sa y-x=4. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y-4=4$$

Idagdag ang 4 sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=8$$

Nalutas na ang system.

$$y=8,x=4$$