Lutasin ang {r}{5x-2y=16}{x+3y=-7}

$$\left. \begin{array} { r } { 5 x - 2 y = 16 } \\ { x + 3 y = - 7 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=2$$

$$y=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5x-2y=16,x+3y=-7$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5x-2y=16$$

Idagdag ang 2y sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=2y+16$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+16\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times 16+2y.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}$$

I-substitute ang \frac{16+2y}{5} para sa x sa kabilang equation na x+3y=-7.

$$\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}+3y=-7$$

Idagdag ang \frac{2y}{5} sa 3y.

$$\frac{17}{5}y+\frac{16}{5}=-7$$

I-subtract ang \frac{16}{5} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{17}{5}y=-\frac{51}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{17}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-3$$

I-substitute ang -3 para sa y sa x=\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{2}{5}\left(-3\right)+\frac{16}{5}$$

I-multiply ang \frac{2}{5} times -3.

$$x=\frac{-6+16}{5}$$

Idagdag ang \frac{16}{5} sa -\frac{6}{5} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=2$$

Nalutas na ang system.

$$x=2,y=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5x-2y=16,x+3y=-7$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\-7\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&-2\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-7\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-7\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{5\times 3-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{5\times 3-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\\-\frac{1}{17}&\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}\times 16+\frac{2}{17}\left(-7\right)\\-\frac{1}{17}\times 16+\frac{5}{17}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=2,y=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5x-2y=16,x+3y=-7$$

Para gawing magkatumbas ang 5x at x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 5.

$$5x-2y=16,5x+5\times 3y=5\left(-7\right)$$

Pasimplehin.

$$5x-2y=16,5x+15y=-35$$

I-subtract ang 5x+15y=-35 mula sa 5x-2y=16 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$5x-5x-2y-15y=16+35$$

Idagdag ang 5x sa -5x. Naka-cancel out ang term na 5x at -5x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-2y-15y=16+35$$

Idagdag ang -2y sa -15y.

$$-17y=16+35$$

Idagdag ang 16 sa 35.

$$-17y=51$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -17.

$$y=-3$$

I-substitute ang -3 para sa y sa x+3y=-7. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x+3\left(-3\right)=-7$$

I-multiply ang 3 times -3.

$$x-9=-7$$

Idagdag ang 9 sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=2$$

Nalutas na ang system.

$$x=2,y=-3$$