Lutasin ang {r}{5x+2y=1}{-3x+3y=5}

$$\left. \begin{array} { r } { 5 x + 2 y = 1 } \\ { - 3 x + 3 y = 5 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5x+2y=1,-3x+3y=5$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5x+2y=1$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=-2y+1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+1\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times -2y+1.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}$$

I-substitute ang \frac{-2y+1}{5} para sa x sa kabilang equation na -3x+3y=5.

$$-3\left(-\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}\right)+3y=5$$

I-multiply ang -3 times \frac{-2y+1}{5}.

$$\frac{6}{5}y-\frac{3}{5}+3y=5$$

Idagdag ang \frac{6y}{5} sa 3y.

$$\frac{21}{5}y-\frac{3}{5}=5$$

Idagdag ang \frac{3}{5} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{21}{5}y=\frac{28}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{21}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{4}{3}$$

I-substitute ang \frac{4}{3} para sa y sa x=-\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{2}{5}\times \frac{4}{3}+\frac{1}{5}$$

I-multiply ang -\frac{2}{5} times \frac{4}{3} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{8}{15}+\frac{1}{5}$$

Idagdag ang \frac{1}{5} sa -\frac{8}{15} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{1}{3},y=\frac{4}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5x+2y=1,-3x+3y=5$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\-3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&2\\-3&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\-3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{5\times 3-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{5\times 3-2\left(-3\right)}&\frac{5}{5\times 3-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{2}{21}\\\frac{1}{7}&\frac{5}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}-\frac{2}{21}\times 5\\\frac{1}{7}+\frac{5}{21}\times 5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\\frac{4}{3}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{1}{3},y=\frac{4}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5x+2y=1,-3x+3y=5$$

Para gawing magkatumbas ang 5x at -3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 5.

$$-3\times 5x-3\times 2y=-3,5\left(-3\right)x+5\times 3y=5\times 5$$

Pasimplehin.

$$-15x-6y=-3,-15x+15y=25$$

I-subtract ang -15x+15y=25 mula sa -15x-6y=-3 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-15x+15x-6y-15y=-3-25$$

Idagdag ang -15x sa 15x. Naka-cancel out ang term na -15x at 15x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-6y-15y=-3-25$$

Idagdag ang -6y sa -15y.

$$-21y=-3-25$$

Idagdag ang -3 sa -25.

$$-21y=-28$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -21.

$$y=\frac{4}{3}$$

I-substitute ang \frac{4}{3} para sa y sa -3x+3y=5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-3x+3\times \frac{4}{3}=5$$

I-multiply ang 3 times \frac{4}{3}.

$$-3x+4=5$$

I-subtract ang 4 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-3x=1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{1}{3},y=\frac{4}{3}$$