Lutasin ang {r}{5x+2/3y=-12}{-6x-1/3y=20}

$$\left. \begin{array} { r } { 5 x + \frac { 2 } { 3 } y = - 12 } \\ { - 6 x - \frac { 1 } { 3 } y = 20 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-4$$

$$y=12$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5x+\frac{2}{3}y=-12,-6x-\frac{1}{3}y=20$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5x+\frac{2}{3}y=-12$$

I-subtract ang \frac{2y}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=-\frac{2}{3}y-12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-\frac{2}{3}y-12\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times -\frac{2y}{3}-12.

$$x=-\frac{2}{15}y-\frac{12}{5}$$

I-substitute ang -\frac{2y}{15}-\frac{12}{5} para sa x sa kabilang equation na -6x-\frac{1}{3}y=20.

$$-6\left(-\frac{2}{15}y-\frac{12}{5}\right)-\frac{1}{3}y=20$$

I-multiply ang -6 times -\frac{2y}{15}-\frac{12}{5}.

$$\frac{4}{5}y+\frac{72}{5}-\frac{1}{3}y=20$$

Idagdag ang \frac{4y}{5} sa -\frac{y}{3}.

$$\frac{7}{15}y+\frac{72}{5}=20$$

I-subtract ang \frac{72}{5} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{7}{15}y=\frac{28}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{7}{15}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=12$$

I-substitute ang 12 para sa y sa x=-\frac{2}{15}y-\frac{12}{5}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{2}{15}\times 12-\frac{12}{5}$$

I-multiply ang -\frac{2}{15} times 12.

$$x=\frac{-8-12}{5}$$

Idagdag ang -\frac{12}{5} sa -\frac{8}{5} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-4$$

Nalutas na ang system.

$$x=-4,y=12$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5x+\frac{2}{3}y=-12,-6x-\frac{1}{3}y=20$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\20\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\20\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\20\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\20\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{3}}{5\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{2}{3}\left(-6\right)}&-\frac{\frac{2}{3}}{5\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{2}{3}\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{5\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{2}{3}\left(-6\right)}&\frac{5}{5\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{2}{3}\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\20\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\\\frac{18}{7}&\frac{15}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\20\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\left(-12\right)-\frac{2}{7}\times 20\\\frac{18}{7}\left(-12\right)+\frac{15}{7}\times 20\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\12\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-4,y=12$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5x+\frac{2}{3}y=-12,-6x-\frac{1}{3}y=20$$

Para gawing magkatumbas ang 5x at -6x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -6 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 5.

$$-6\times 5x-6\times \frac{2}{3}y=-6\left(-12\right),5\left(-6\right)x+5\left(-\frac{1}{3}\right)y=5\times 20$$

Pasimplehin.

$$-30x-4y=72,-30x-\frac{5}{3}y=100$$

I-subtract ang -30x-\frac{5}{3}y=100 mula sa -30x-4y=72 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-30x+30x-4y+\frac{5}{3}y=72-100$$

Idagdag ang -30x sa 30x. Naka-cancel out ang term na -30x at 30x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-4y+\frac{5}{3}y=72-100$$

Idagdag ang -4y sa \frac{5y}{3}.

$$-\frac{7}{3}y=72-100$$

Idagdag ang 72 sa -100.

$$-\frac{7}{3}y=-28$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{7}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=12$$

I-substitute ang 12 para sa y sa -6x-\frac{1}{3}y=20. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-6x-\frac{1}{3}\times 12=20$$

I-multiply ang -\frac{1}{3} times 12.

$$-6x-4=20$$

Idagdag ang 4 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-6x=24$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -6.

$$x=-4$$

Nalutas na ang system.

$$x=-4,y=12$$