Lutasin ang {r}{4x-2y+4=0}{-4x+3y-3=0}

$$\left. \begin{array} { r } { 4 x - 2 y + 4 = 0 } \\ { - 4 x + 3 y - 3 = 0 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$4x-2y+4=0,-4x+3y-3=0$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$4x-2y+4=0$$

I-subtract ang 4 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x-2y=-4$$

Idagdag ang 2y sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=2y-4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y-4\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{4} times -4+2y.

$$x=\frac{1}{2}y-1$$

I-substitute ang \frac{y}{2}-1 para sa x sa kabilang equation na -4x+3y-3=0.

$$-4\left(\frac{1}{2}y-1\right)+3y-3=0$$

I-multiply ang -4 times \frac{y}{2}-1.

$$-2y+4+3y-3=0$$

Idagdag ang -2y sa 3y.

$$y+4-3=0$$

Idagdag ang 4 sa -3.

$$y+1=0$$

I-subtract ang 1 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=-1$$

I-substitute ang -1 para sa y sa x=\frac{1}{2}y-1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)-1$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -1.

$$x=-\frac{1}{2}-1$$

Idagdag ang -1 sa -\frac{1}{2}.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{3}{2},y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$4x-2y+4=0,-4x+3y-3=0$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\left(-4\right)+\frac{1}{2}\times 3\\-4+3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{3}{2},y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$4x-2y+4=0,-4x+3y-3=0$$

Para gawing magkatumbas ang 4x at -4x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -4 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 4.

$$-4\times 4x-4\left(-2\right)y-4\times 4=0,4\left(-4\right)x+4\times 3y+4\left(-3\right)=0$$

Pasimplehin.

$$-16x+8y-16=0,-16x+12y-12=0$$

I-subtract ang -16x+12y-12=0 mula sa -16x+8y-16=0 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-16x+16x+8y-12y-16+12=0$$

Idagdag ang -16x sa 16x. Naka-cancel out ang term na -16x at 16x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$8y-12y-16+12=0$$

Idagdag ang 8y sa -12y.

$$-4y-16+12=0$$

Idagdag ang -16 sa 12.

$$-4y-4=0$$

Idagdag ang 4 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-4y=4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -4.

$$y=-1$$

I-substitute ang -1 para sa y sa -4x+3y-3=0. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-4x+3\left(-1\right)-3=0$$

I-multiply ang 3 times -1.

$$-4x-3-3=0$$

Idagdag ang -3 sa -3.

$$-4x-6=0$$

Idagdag ang 6 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-4x=6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{3}{2},y=-1$$