Lutasin ang {r}{32x+3y=5}{3x+2y=70}

$$\left. \begin{array} { r } { 32 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 70 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = -\frac{40}{11} = -3\frac{7}{11} \approx -3.636363636$$

$$y = \frac{445}{11} = 40\frac{5}{11} \approx 40.454545455$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$32x+3y=5,3x+2y=70$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$32x+3y=5$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$32x=-3y+5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 32.

$$x=\frac{1}{32}\left(-3y+5\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{32} times -3y+5.

$$x=-\frac{3}{32}y+\frac{5}{32}$$

I-substitute ang \frac{-3y+5}{32} para sa x sa kabilang equation na 3x+2y=70.

$$3\left(-\frac{3}{32}y+\frac{5}{32}\right)+2y=70$$

I-multiply ang 3 times \frac{-3y+5}{32}.

$$-\frac{9}{32}y+\frac{15}{32}+2y=70$$

Idagdag ang -\frac{9y}{32} sa 2y.

$$\frac{55}{32}y+\frac{15}{32}=70$$

I-subtract ang \frac{15}{32} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{55}{32}y=\frac{2225}{32}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{55}{32}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{445}{11}$$

I-substitute ang \frac{445}{11} para sa y sa x=-\frac{3}{32}y+\frac{5}{32}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{3}{32}\times \frac{445}{11}+\frac{5}{32}$$

I-multiply ang -\frac{3}{32} times \frac{445}{11} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{1335}{352}+\frac{5}{32}$$

Idagdag ang \frac{5}{32} sa -\frac{1335}{352} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{40}{11}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{40}{11},y=\frac{445}{11}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$32x+3y=5,3x+2y=70$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{32\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{32\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{32\times 2-3\times 3}&\frac{32}{32\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{55}&-\frac{3}{55}\\-\frac{3}{55}&\frac{32}{55}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{55}\times 5-\frac{3}{55}\times 70\\-\frac{3}{55}\times 5+\frac{32}{55}\times 70\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{40}{11}\\\frac{445}{11}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{40}{11},y=\frac{445}{11}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$32x+3y=5,3x+2y=70$$

Para gawing magkatumbas ang 32x at 3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 32.

$$3\times 32x+3\times 3y=3\times 5,32\times 3x+32\times 2y=32\times 70$$

Pasimplehin.

$$96x+9y=15,96x+64y=2240$$

I-subtract ang 96x+64y=2240 mula sa 96x+9y=15 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$96x-96x+9y-64y=15-2240$$

Idagdag ang 96x sa -96x. Naka-cancel out ang term na 96x at -96x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$9y-64y=15-2240$$

Idagdag ang 9y sa -64y.

$$-55y=15-2240$$

Idagdag ang 15 sa -2240.

$$-55y=-2225$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -55.

$$y=\frac{445}{11}$$

I-substitute ang \frac{445}{11} para sa y sa 3x+2y=70. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$3x+2\times \frac{445}{11}=70$$

I-multiply ang 2 times \frac{445}{11}.

$$3x+\frac{890}{11}=70$$

I-subtract ang \frac{890}{11} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=-\frac{120}{11}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=-\frac{40}{11}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{40}{11},y=\frac{445}{11}$$