Lutasin ang {r}{22x+3y=5}{3x+2y=70}

$$\left. \begin{array} { r } { 22 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 70 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = -\frac{40}{7} = -5\frac{5}{7} \approx -5.714285714$$

$$y = \frac{305}{7} = 43\frac{4}{7} \approx 43.571428571$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$22x+3y=5,3x+2y=70$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$22x+3y=5$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$22x=-3y+5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 22.

$$x=\frac{1}{22}\left(-3y+5\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{22} times -3y+5.

$$x=-\frac{3}{22}y+\frac{5}{22}$$

I-substitute ang \frac{-3y+5}{22} para sa x sa kabilang equation na 3x+2y=70.

$$3\left(-\frac{3}{22}y+\frac{5}{22}\right)+2y=70$$

I-multiply ang 3 times \frac{-3y+5}{22}.

$$-\frac{9}{22}y+\frac{15}{22}+2y=70$$

Idagdag ang -\frac{9y}{22} sa 2y.

$$\frac{35}{22}y+\frac{15}{22}=70$$

I-subtract ang \frac{15}{22} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{35}{22}y=\frac{1525}{22}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{35}{22}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{305}{7}$$

I-substitute ang \frac{305}{7} para sa y sa x=-\frac{3}{22}y+\frac{5}{22}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{3}{22}\times \frac{305}{7}+\frac{5}{22}$$

I-multiply ang -\frac{3}{22} times \frac{305}{7} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{915}{154}+\frac{5}{22}$$

Idagdag ang \frac{5}{22} sa -\frac{915}{154} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{40}{7}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{40}{7},y=\frac{305}{7}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$22x+3y=5,3x+2y=70$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{22\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{22\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{22\times 2-3\times 3}&\frac{22}{22\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{35}&-\frac{3}{35}\\-\frac{3}{35}&\frac{22}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{35}\times 5-\frac{3}{35}\times 70\\-\frac{3}{35}\times 5+\frac{22}{35}\times 70\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{40}{7}\\\frac{305}{7}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{40}{7},y=\frac{305}{7}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$22x+3y=5,3x+2y=70$$

Para gawing magkatumbas ang 22x at 3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 22.

$$3\times 22x+3\times 3y=3\times 5,22\times 3x+22\times 2y=22\times 70$$

Pasimplehin.

$$66x+9y=15,66x+44y=1540$$

I-subtract ang 66x+44y=1540 mula sa 66x+9y=15 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$66x-66x+9y-44y=15-1540$$

Idagdag ang 66x sa -66x. Naka-cancel out ang term na 66x at -66x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$9y-44y=15-1540$$

Idagdag ang 9y sa -44y.

$$-35y=15-1540$$

Idagdag ang 15 sa -1540.

$$-35y=-1525$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -35.

$$y=\frac{305}{7}$$

I-substitute ang \frac{305}{7} para sa y sa 3x+2y=70. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$3x+2\times \frac{305}{7}=70$$

I-multiply ang 2 times \frac{305}{7}.

$$3x+\frac{610}{7}=70$$

I-subtract ang \frac{610}{7} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=-\frac{120}{7}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=-\frac{40}{7}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{40}{7},y=\frac{305}{7}$$