Lutasin ang {r}{12x+3y=5}{3x+2y=7}

$$\left. \begin{array} { r } { 12 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-\frac{11}{15}\approx -0.733333333$$

$$y = \frac{23}{5} = 4\frac{3}{5} = 4.6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$12x+3y=5,3x+2y=7$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$12x+3y=5$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$12x=-3y+5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 12.

$$x=\frac{1}{12}\left(-3y+5\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{12} times -3y+5.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12}$$

I-substitute ang -\frac{y}{4}+\frac{5}{12} para sa x sa kabilang equation na 3x+2y=7.

$$3\left(-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12}\right)+2y=7$$

I-multiply ang 3 times -\frac{y}{4}+\frac{5}{12}.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}+2y=7$$

Idagdag ang -\frac{3y}{4} sa 2y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{5}{4}=7$$

I-subtract ang \frac{5}{4} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{5}{4}y=\frac{23}{4}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{5}{4}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{23}{5}$$

I-substitute ang \frac{23}{5} para sa y sa x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{23}{5}+\frac{5}{12}$$

I-multiply ang -\frac{1}{4} times \frac{23}{5} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{23}{20}+\frac{5}{12}$$

Idagdag ang \frac{5}{12} sa -\frac{23}{20} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{11}{15}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{11}{15},y=\frac{23}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$12x+3y=5,3x+2y=7$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{12\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{12\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{12\times 2-3\times 3}&\frac{12}{12\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}\times 5-\frac{1}{5}\times 7\\-\frac{1}{5}\times 5+\frac{4}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{15}\\\frac{23}{5}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{11}{15},y=\frac{23}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$12x+3y=5,3x+2y=7$$

Para gawing magkatumbas ang 12x at 3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 12.

$$3\times 12x+3\times 3y=3\times 5,12\times 3x+12\times 2y=12\times 7$$

Pasimplehin.

$$36x+9y=15,36x+24y=84$$

I-subtract ang 36x+24y=84 mula sa 36x+9y=15 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$36x-36x+9y-24y=15-84$$

Idagdag ang 36x sa -36x. Naka-cancel out ang term na 36x at -36x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$9y-24y=15-84$$

Idagdag ang 9y sa -24y.

$$-15y=15-84$$

Idagdag ang 15 sa -84.

$$-15y=-69$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -15.

$$y=\frac{23}{5}$$

I-substitute ang \frac{23}{5} para sa y sa 3x+2y=7. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$3x+2\times \frac{23}{5}=7$$

I-multiply ang 2 times \frac{23}{5}.

$$3x+\frac{46}{5}=7$$

I-subtract ang \frac{46}{5} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=-\frac{11}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=-\frac{11}{15}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{11}{15},y=\frac{23}{5}$$