Lutasin ang {r}{10x-10y=-10}{+-10x+8y=12}

$$\left. \begin{array} { r } { 10 x - 10 y = - 10 } \\ { + - 10 x + 8 y = 12 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-2$$

$$y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$10x-10y=-10,-10x+8y=12$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$10x-10y=-10$$

Idagdag ang 10y sa magkabilang dulo ng equation.

$$10x=10y-10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(10y-10\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{10} times -10+10y.

$$x=y-1$$

I-substitute ang y-1 para sa x sa kabilang equation na -10x+8y=12.

$$-10\left(y-1\right)+8y=12$$

I-multiply ang -10 times y-1.

$$-10y+10+8y=12$$

Idagdag ang -10y sa 8y.

$$-2y+10=12$$

I-subtract ang 10 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-2y=2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$y=-1$$

I-substitute ang -1 para sa y sa x=y-1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-1-1$$

Idagdag ang -1 sa -1.

$$x=-2$$

Nalutas na ang system.

$$x=-2,y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$10x-10y=-10,-10x+8y=12$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{10\times 8-\left(-10\left(-10\right)\right)}&-\frac{-10}{10\times 8-\left(-10\left(-10\right)\right)}\\-\frac{-10}{10\times 8-\left(-10\left(-10\right)\right)}&\frac{10}{10\times 8-\left(-10\left(-10\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 12\\-\frac{1}{2}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 12\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-2,y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$10x-10y=-10,-10x+8y=12$$

Para gawing magkatumbas ang 10x at -10x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -10 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 10.

$$-10\times 10x-10\left(-10\right)y=-10\left(-10\right),10\left(-10\right)x+10\times 8y=10\times 12$$

Pasimplehin.

$$-100x+100y=100,-100x+80y=120$$

I-subtract ang -100x+80y=120 mula sa -100x+100y=100 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-100x+100x+100y-80y=100-120$$

Idagdag ang -100x sa 100x. Naka-cancel out ang term na -100x at 100x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$100y-80y=100-120$$

Idagdag ang 100y sa -80y.

$$20y=100-120$$

Idagdag ang 100 sa -120.

$$20y=-20$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 20.

$$y=-1$$

I-substitute ang -1 para sa y sa -10x+8y=12. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-10x+8\left(-1\right)=12$$

I-multiply ang 8 times -1.

$$-10x-8=12$$

Idagdag ang 8 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-10x=20$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -10.

$$x=-2$$

Nalutas na ang system.

$$x=-2,y=-1$$