Lutasin ang {r}{-7x+2y=-39}{9x-5y=55}

$$\left. \begin{array} { r } { - 7 x + 2 y = - 39 } \\ { 9 x - 5 y = 55 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=5$$

$$y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-7x+2y=-39,9x-5y=55$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-7x+2y=-39$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-7x=-2y-39$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -7.

$$x=-\frac{1}{7}\left(-2y-39\right)$$

I-multiply ang -\frac{1}{7} times -2y-39.

$$x=\frac{2}{7}y+\frac{39}{7}$$

I-substitute ang \frac{2y+39}{7} para sa x sa kabilang equation na 9x-5y=55.

$$9\left(\frac{2}{7}y+\frac{39}{7}\right)-5y=55$$

I-multiply ang 9 times \frac{2y+39}{7}.

$$\frac{18}{7}y+\frac{351}{7}-5y=55$$

Idagdag ang \frac{18y}{7} sa -5y.

$$-\frac{17}{7}y+\frac{351}{7}=55$$

I-subtract ang \frac{351}{7} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{17}{7}y=\frac{34}{7}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{17}{7}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-2$$

I-substitute ang -2 para sa y sa x=\frac{2}{7}y+\frac{39}{7}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{2}{7}\left(-2\right)+\frac{39}{7}$$

I-multiply ang \frac{2}{7} times -2.

$$x=\frac{-4+39}{7}$$

Idagdag ang \frac{39}{7} sa -\frac{4}{7} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=5$$

Nalutas na ang system.

$$x=5,y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-7x+2y=-39,9x-5y=55$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-7\left(-5\right)-2\times 9}&-\frac{2}{-7\left(-5\right)-2\times 9}\\-\frac{9}{-7\left(-5\right)-2\times 9}&-\frac{7}{-7\left(-5\right)-2\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{17}&-\frac{2}{17}\\-\frac{9}{17}&-\frac{7}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{17}\left(-39\right)-\frac{2}{17}\times 55\\-\frac{9}{17}\left(-39\right)-\frac{7}{17}\times 55\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=5,y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-7x+2y=-39,9x-5y=55$$

Para gawing magkatumbas ang -7x at 9x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 9 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -7.

$$9\left(-7\right)x+9\times 2y=9\left(-39\right),-7\times 9x-7\left(-5\right)y=-7\times 55$$

Pasimplehin.

$$-63x+18y=-351,-63x+35y=-385$$

I-subtract ang -63x+35y=-385 mula sa -63x+18y=-351 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-63x+63x+18y-35y=-351+385$$

Idagdag ang -63x sa 63x. Naka-cancel out ang term na -63x at 63x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$18y-35y=-351+385$$

Idagdag ang 18y sa -35y.

$$-17y=-351+385$$

Idagdag ang -351 sa 385.

$$-17y=34$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -17.

$$y=-2$$

I-substitute ang -2 para sa y sa 9x-5y=55. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$9x-5\left(-2\right)=55$$

I-multiply ang -5 times -2.

$$9x+10=55$$

I-subtract ang 10 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$9x=45$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 9.

$$x=5$$

Nalutas na ang system.

$$x=5,y=-2$$