Lutasin ang {r}{2(x+1)/3-y=-3}{3(x+5-y)+3x=12}

$$\left. \begin{array} { r } { \frac { 2 ( x + 1 ) } { 3 } - y = - 3 } \\ { 3 ( x + 5 - y ) + 3 x = 12 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=2$$

$$y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$2\left(x+1\right)-3y=-9$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang x+1.

$$2x+2-3y=-9$$

I-subtract ang 2 mula sa magkabilang dulo.

$$2x-3y=-9-2$$

I-subtract ang 2 mula sa -9 para makuha ang -11.

$$2x-3y=-11$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang x+5-y.

$$3x+15-3y+3x=12$$

Pagsamahin ang 3x at 3x para makuha ang 6x.

$$6x+15-3y=12$$

I-subtract ang 15 mula sa magkabilang dulo.

$$6x-3y=12-15$$

I-subtract ang 15 mula sa 12 para makuha ang -3.

$$6x-3y=-3$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x-3y=-11,6x-3y=-3$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x-3y=-11$$

Idagdag ang 3y sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=3y-11$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-11\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times 3y-11.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{11}{2}$$

I-substitute ang \frac{3y-11}{2} para sa x sa kabilang equation na 6x-3y=-3.

$$6\left(\frac{3}{2}y-\frac{11}{2}\right)-3y=-3$$

I-multiply ang 6 times \frac{3y-11}{2}.

$$9y-33-3y=-3$$

Idagdag ang 9y sa -3y.

$$6y-33=-3$$

Idagdag ang 33 sa magkabilang dulo ng equation.

$$6y=30$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$y=5$$

I-substitute ang 5 para sa y sa x=\frac{3}{2}y-\frac{11}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{3}{2}\times 5-\frac{11}{2}$$

I-multiply ang \frac{3}{2} times 5.

$$x=\frac{15-11}{2}$$

Idagdag ang -\frac{11}{2} sa \frac{15}{2} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=2$$

Nalutas na ang system.

$$x=2,y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$2\left(x+1\right)-3y=-9$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang x+1.

$$2x+2-3y=-9$$

I-subtract ang 2 mula sa magkabilang dulo.

$$2x-3y=-9-2$$

I-subtract ang 2 mula sa -9 para makuha ang -11.

$$2x-3y=-11$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang x+5-y.

$$3x+15-3y+3x=12$$

Pagsamahin ang 3x at 3x para makuha ang 6x.

$$6x+15-3y=12$$

I-subtract ang 15 mula sa magkabilang dulo.

$$6x-3y=12-15$$

I-subtract ang 15 mula sa 12 para makuha ang -3.

$$6x-3y=-3$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x-3y=-11,6x-3y=-3$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}&-\frac{-3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}\\-\frac{6}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-11\right)+\frac{1}{4}\left(-3\right)\\-\frac{1}{2}\left(-11\right)+\frac{1}{6}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=2,y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$2\left(x+1\right)-3y=-9$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang x+1.

$$2x+2-3y=-9$$

I-subtract ang 2 mula sa magkabilang dulo.

$$2x-3y=-9-2$$

I-subtract ang 2 mula sa -9 para makuha ang -11.

$$2x-3y=-11$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang x+5-y.

$$3x+15-3y+3x=12$$

Pagsamahin ang 3x at 3x para makuha ang 6x.

$$6x+15-3y=12$$

I-subtract ang 15 mula sa magkabilang dulo.

$$6x-3y=12-15$$

I-subtract ang 15 mula sa 12 para makuha ang -3.

$$6x-3y=-3$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x-3y=-11,6x-3y=-3$$

I-subtract ang 6x-3y=-3 mula sa 2x-3y=-11 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2x-6x-3y+3y=-11+3$$

Idagdag ang -3y sa 3y. Naka-cancel out ang term na -3y at 3y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$2x-6x=-11+3$$

Idagdag ang 2x sa -6x.

$$-4x=-11+3$$

Idagdag ang -11 sa 3.

$$-4x=-8$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -4.

$$x=2$$

I-substitute ang 2 para sa x sa 6x-3y=-3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$6\times 2-3y=-3$$

I-multiply ang 6 times 2.

$$12-3y=-3$$

I-subtract ang 12 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-3y=-15$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$y=5$$

Nalutas na ang system.

$$x=2,y=5$$